考虑多个代价的矩阵最优路径

Question

例如，给定以下矩阵：

[[[0, 8], [0, 3], [0, 8]],
 [[8, 0], [3, 0], [0, 5]],
 [[0, 1], [0, 6], [0, 0]]]

其中每个元组的第一个数字是食物，第二个数字是水。我需要从右下角到左上角，我只能向上或向左移动

我需要收集尽可能多的食物和水，这样我才能活得尽可能长。每一天我想要生存，我需要一份食物和一份水，所以如果我能在（7,4）和（6,6）之间做出选择，正确的选择是（6,6），因为这将允许我活6天

如何通过上述矩阵找到最佳路径

我目前的代码如下，但它不起作用（它找到了一个非常高的成本路径，但不是最高的），我不知道如何去做。我不知道如何开始实现它，尽管我被告知要避免递归

def maxSuppliesPath(matrix):
n = len(matrix) - 1
bestPath = matrix

# Initialize first column of bestPath array
for i in range(1, n + 1):
    if bestPath[i][0] == 0:
        bestPath[i][0] = bestPath[i - 1][0]
    else:
        bestPath[i][0] = (bestPath[i][0][0] + bestPath[i - 1][0][0], bestPath[i][0][1] + bestPath[i - 1][0][1])

# Initialize first row of bestPath array
for j in range(1, n + 1):
    if bestPath[0][j] == 0:
        bestPath[0][j] = bestPath[0][j - 1]
    else:
        bestPath[0][j] = (bestPath[0][j - 1][0] + bestPath[0][j][0], bestPath[0][j - 1][1] + bestPath[0][j][1])



# Construct rest of the bestPath array
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if min(bestPath[i][j - 1][0] + bestPath[i][j][0], bestPath[i][j - 1][1] + bestPath[i][j][1]) > min(
                bestPath[i - 1][j][0] + bestPath[i][j][0], bestPath[i - 1][j][1] + bestPath[i][j][1]):
            bestPath[i][j] = (bestPath[i][j - 1][0] + bestPath[i][j][0], bestPath[i][j - 1][1] + bestPath[i][j][1])
        else:
            bestPath[i][j] = (bestPath[i - 1][j][0] + bestPath[i][j][0], bestPath[i - 1][j][1] + bestPath[i][j][1])

return min(bestPath[n][n][0], bestPath[n][n][1])

Answer 1

解决问题的第一步是了解如何遍历矩阵。下图显示了从起点到其他点的距离

请注意，等距点排列在对角线上。给定表示一条对角线的set（称之为a），下一条对角线上的点（称之为B）如下所示：

for each point in set A
    if the x coordinate is greater than zero
        add (x-1, y) to set B
    if the y coordinate is greater than zero
        add (x, y-1) to set B

在本例中，表示对角线的集合应如下所示：

[(2, 2)]                  // starting position
[(1, 2), (2, 1)]          // after 1 move
[(2, 0), (1, 1), (0, 2)]  // after 2 moves
[(0, 1), (1, 0)]          // after 3 moves
[(0, 0)]                  // after 4 moves

下图显示了可以使用多少条不同的路径到达矩阵中的每个点。路径的数目与Pascal's triangle中的数目相同。就这个问题而言，唯一重要的是数量的快速增长，因此我们需要减少数量

为了减少路径计数，我们需要在遍历矩阵时剔除非生产性路径。这是通过比较元组来实现的，每个元组由食物和水组成。元组(F,W)支配元组(f,w)iffF >= f和W >= w

例如，考虑矩阵中的中心位置。我们可以通过向上移动然后向左移动，或者向左移动然后向上移动来达到这一点。向上移动会产生（3,5）的产量（食物、水），而向上移动会产生（3,6）。（3，6）占主导地位（3，5），所以我们只需要考虑（3，6）。所以在两次移动之后，我们的情况如下所示。注意，我们在中心位置只有一个元组，而不是Pascal三角形预测的两个元组

经过三次移动，我们的情况如下所示。第三条对角线上的每个点有两个元组。这是必要的，因为其中一个元组有更多的食物，而另一个元组有更多的水，所以两者都不能支配另一个元组

四步之后，我们有四个可能的答案，选择最好的答案只需比较每个元组的min(food, water)