以下内容基于Python 3.7.6
我试图使用一个名为PySCF的包来解决简单的计算化学问题。其中一个计算涉及一个称为Fock矩阵的2D数组的计算。PySCF使用函数get_fock()[1,2]生成此函数。对于我的一个测试用例,Fock矩阵的计算结果为
F = [[ 2. -1. 0. 0. 0. -1.]
[-1. 2. -1. 0. 0. 0.]
[ 0. -1. 2. -1. 0. 0.]
[ 0. 0. -1. 2. -1. 0.]
[ 0. 0. 0. -1. 2. -1.]
[-1. 0. 0. 0. -1. 2.]]
我尝试使用energies, C = np.linalg.eig(F)
来找到这个矩阵的特征值和特征向量,它给出了以下特征向量矩阵:
C = [[-0.40824829 0.57735027 0.40824829 0.57735027 0.2468088 0.08939109]
[ 0.40824829 -0.28867513 0.40824829 0.28867513 -0.57541553 -0.44927503]
[-0.40824829 -0.28867513 0.40824829 -0.28867513 0.32860673 -0.53866612]
[ 0.40824829 0.57735027 0.40824829 -0.57735027 0.2468088 -0.08939109]
[-0.40824829 -0.28867513 0.40824829 -0.28867513 -0.57541553 0.44927503]
[ 0.40824829 -0.28867513 0.40824829 0.28867513 0.32860673 0.53866612]]
然而,np.matmul(np.matmul(C.T,F),C)
应该返回一个对角线矩阵,其元素是F
的特征值。这不是发生的情况,但我应该注意,F
的正确特征值(单独验证)确实存储在energies
中
然后,我为另一个矩阵F0
分配了与F
完全相同的元素(这次,硬编码到脚本中)。在这种情况下,np.linalg.eig(F0)
实际上给了我一个不同的特征向量矩阵:
C0 = [[ 0.23192061 0.41790651 -0.52112089 -0.23192061 0.52112089 -0.41790651]
[-0.41790651 -0.52112089 0.23192061 -0.41790651 0.23192061 -0.52112089]
[ 0.52112089 0.23192061 0.41790651 -0.52112089 -0.41790651 -0.23192061]
[-0.52112089 0.23192061 -0.41790651 -0.52112089 -0.41790651 0.23192061]
[ 0.41790651 -0.52112089 -0.23192061 -0.41790651 0.23192061 0.52112089]
[-0.23192061 0.41790651 0.52112089 -0.23192061 0.52112089 0.41790651]]
为了确保我没有精神错乱,我在这两种情况下都检查了F
和F0
:<class 'numpy.ndarray'>
的type
。我还打印出了F-F0
,正如预期的那样,这只是一个0矩阵。我已经在下面粘贴了我的脚本,这是一个PySCF示例脚本[3]的改编
import numpy as np
from numpy import zeros, matrix
from pyscf import gto, scf, ao2mo, cc, tools
hubbard_U = 2.
hubbard_t = 1.
mol = gto.M(verbose=4)
n = n_basis = 6
mol.nelectron = 12
mol.verbose = 9
mol.incore_anyway = True
h1 = np.zeros((n,n))
for i in range(n-1):
h1[i,i+1] = h1[i+1,i] = -hubbard_t # -ve Hubbard t
h1[n-1,0] = h1[0,n-1] = -hubbard_t # periodicity
eri = np.zeros((n,n,n,n))
for i in range(n):
eri[i,i,i,i] = hubbard_U # Hubbard U
mf = scf.RHF(mol)
mf.conv_tol = 1e-8
mf.get_hcore = lambda *args: h1
mf.get_ovlp = lambda *args: np.eye(n)
mf._eri = ao2mo.restore(8, eri, n)
mf.kernel(np.ones((n, n)))
F = np.copy(mf.get_fock())
print('F =')
print(F)
energies, C = np.linalg.eig(F)
print('\nC =', C)
F0 = [[2., -1., 0., 0., 0., 0.],
[-1., 2., -1., 0., 0., 0.],
[ 0., -1., 2., -1., 0., 0.],
[ 0., 0., -1., 2., -1., 0.],
[ 0., 0., 0., -1., 2., -1.],
[ 0., 0., 0., 0., -1., 2.]]
print('\nF - F0 =', F-F0)
energies0, C0 = np.linalg.eig(F0)
print('\nC0 =', C0)
为什么完全相同的矩阵可以给出两组完全不同的特征向量 如果存在某种简单的幺正变换,这不应该影响实值矩阵的np.matmul(np.matmul(C.T,F),C)
关系(如上所述)。我完全迷失在这里,忍不住认为我遗漏了一些非常基本的东西。任何帮助都将不胜感激
好的,你的矩阵是对称的,所以它保证是对角化的,有一些
V.T @ F @ V
,有一个V
正交矩阵。矩阵V
在列的-1
置换和乘法之前是唯一的。(或者在对应于相同特征值的子空间上旋转,这里不是这种情况,因为你有不同的特征向量)numpy.linalg.eig的文献指出,右特征值没有保证的阶,特征向量有单位长度。这给了我们两个健全的检查
我检查了你的两个矩阵,实际上
C0
是F
的特征向量矩阵,而C
不是在这一点上,输入矩阵可能是不同的。但是当我们检查正交性时,我会说它违反了eig的陈述
这些库在许多地方都有使用,如果您能够重现故障,这将是一个重要的(BUG)发现
我对维度为2到10的随机矩阵测试了上述断言,并且上述两个条件在
1e-10
的公差范围内有效。可能是F的结构?还尝试了与您的F0与一个小的附加噪音数千次,它的作品相关问题 更多 >
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