在Python中计算低秩近似

Question

给定一个维数为nxn的矩阵M，如何计算低秩因式分解，使得M=L.T*L，其中L是维数kxn的。到目前为止，我只看到使用SVD来完成这个任务，这并不是我想要的，因为这个方法给了我M=USV和U.t！=S*V，与（L.T）相反。T==L

另一种选择是使用某种形式的优化来找到L，但这并不简单，因为我已经尝试过SciPy的几种优化方法，在frobenius范数下使用不同的M-L.t*L，但到目前为止我还没有成功。在

编辑：我忘了补充一点，通过使用scikit的非负矩阵分解类，我可以部分地通过传递L和L.T作为优化的候选矩阵来实现这一点。但是，我的矩阵M不是非负的，所以这个方法对我不适用。在

Answer 1

答案取决于你对矩阵的了解。在

如果矩阵是半正定的，可以使用Cholesky Factorization， 使用旋转来保持稳定性。在

在其他假设下，解决方案可能不存在。在

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例如，如果不存在解决方案，则以下矩阵没有解决方案：

[[0, 1],
 [0, 0]] 

证明：假设答案存在。然后解决方案如下：

^{pr2}$

因此，以下必须是正确的：

1. a*a + b*c == 0
2. d*d + b*c == 0
3. c * (a+d) == 0
4. b * (a+d) == 1

根据3。(c == 0) or ((a+d) == 0)

如果c == 0，则根据1。和2。a == 0和{}。如果这是真的，那么(a+d) == 0就等于4。不可能的。在

如果(a+d) == 0，则为4。是不可能的。在

矛盾的是，我们知道这个矩阵不可能有你所要求的分解。在