符号矩阵对角化

Question

我需要用python对角化一个符号矩阵。在Mathematica中，这很容易实现，但是当使用模块numpy.linalg时，我会遇到问题。

对于具体性，考虑矩阵

[[2, x], [x, 3]]

其中x是符号变量。我想我会遇到问题，因为numpy包是为数值计算而提供的，而不是符号计算，但是我找不到如何使用sympy。

Answer 1

你可以根据特征值来计算，但实际上有一种方法可以帮你计算，^{}

In [13]: M.diagonalize()
Out[13]:
⎛                                        ⎡     __________                       ⎤⎞
⎜                                        ⎢    ╱    2                            ⎥⎟
⎜⎡      -2⋅x                2⋅x       ⎤  ⎢  ╲╱  4⋅x  + 1    5                   ⎥⎟
⎜⎢─────────────────  ─────────────────⎥, ⎢- ───────────── + ─          0        ⎥⎟
⎜⎢   __________         __________    ⎥  ⎢        2         2                   ⎥⎟
⎜⎢  ╱    2             ╱    2         ⎥  ⎢                                      ⎥⎟
⎜⎢╲╱  4⋅x  + 1  - 1  ╲╱  4⋅x  + 1  + 1⎥  ⎢                        __________    ⎥⎟
⎜⎢                                    ⎥  ⎢                       ╱    2         ⎥⎟
⎜⎣        1                  1        ⎦  ⎢                     ╲╱  4⋅x  + 1    5⎥⎟
⎜                                        ⎢         0           ───────────── + ─⎥⎟
⎝                                        ⎣                           2         2⎦⎠

M.diagonalize()返回一对矩阵(P, D)，这样M = P*D*P**-1。如果它不能计算足够的特征值，或者是因为矩阵不可对角化，或者是因为solve()不能找到特征多项式的所有根，那么它将提高MatrixError。

另请参见SymPy教程的this section。

Answer 2

假设矩阵是对角化的，你可以通过

from sympy import *
x = Symbol('x')
M = Matrix([[2,x],[x,3]])
print M.eigenvects()
print M.eigenvals()

给予：

[(-sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2, 1, [[-x/(sqrt(4*x**2 + 1)/2 - 1/2)]
[                            1]]), (sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2, 1, [[-x/(-sqrt(4*x**2 + 1)/2 - 1/2)]
[                             1]])]
{sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2: 1, -sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2: 1}

您应该查看documentation，这里列出了许多其他分解。

注意，并不是每个矩阵都可以对角化，但是可以使用sympy命令将每个矩阵放入Jordan Normal Form。