numpy-einsum表示法：一组矩阵与一组向量的点积

Question

我想用n维m*m矩阵堆栈乘以n维向量堆栈（长度m），这样得到的m*n数组包含第n项中矩阵和向量的点乘结果：

vec1=np.array([0,0.5,1,0.5]); vec2=np.array([2,0.5,1,0.5])
vec=np.transpose(n.stack((vec1,vec2)))
mat = np.moveaxis(n.array([[[0,1,2,3],[0,1,2,3],[0,1,2,3],[0,1,2,3]],[[-1,2.,0,1.],[0,0,-1,2.],[0,1,-1,2.],[1,0.1,1,1]]]),0,2)
outvec=np.zeros((4,2))
for i in range(2):
    outvec[:,i]=np.dot(mat[:,:,i],vec[:,i])

受这篇文章Element wise dot product of matrices and vectors的启发，我尝试了einsum中所有不同的索引组合扰动，并发现

^{pr2}$

给出正确的结果。在

不幸的是，我真的不明白这一点-我假设我重复'ijk，jk'部分中的条目k意味着我乘以k并求和。我试图阅读文档https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.1/reference/generated/numpy.einsum.html，但我仍然不明白。在

（我之前的尝试包括

 np.einsum('ijk,il->ik', mat, vec)

我甚至不知道这意味着什么。当我放弃索引l时，它会发生什么变化？）在

提前谢谢！在

Answer 1

einsum很简单（当你玩了一段时间的索引排列时，就是…）。在

让我们来做一些简单的事情，一个三层的2×2矩阵和一个2×，数组的三层堆栈

import numpy as np

a = np.arange(3*2*2).reshape((3,2,2))
b = np.arange(3*2).reshape((3,2))

我们需要知道我们要用einsum来计算什么

^{pr2}$

我们做了什么？我们有一个索引i，当我们在其中一个堆叠矩阵与其中一个堆叠向量（两者都以i为索引）之间执行点积时，该索引是固定的，并且单个输出行表示对堆叠矩阵的最后一个索引和堆叠向量的唯一索引的求和。在

这很容易在einsum指令中编码

• 我们需要相同的i索引来指定矩阵、向量和输出
• 我们要沿着最后一个矩阵索引和剩余的向量索引减少，比如k
• 我们希望输出中的列数与每个堆栈矩阵中的行数相等，比如j

因此

In [102]: np.einsum('ijk,ik->ij', a, b)                                                                   
Out[102]: 
array([[ 1,  3],
       [23, 33],
       [77, 95]])

我希望我关于如何正确执行指令的讨论是清楚、正确和有用的。在