“范数”是否等同于“欧几里德距离”？

Question

我不确定“范数”和“欧几里德距离”是否是同一个意思。请你帮我区分一下。

我有一个nbym数组a，其中m>；3。我想计算第二个数据点a[1,:]到所有其他点（包括它自己）之间的Eculidean距离。所以我使用np.linalg.norm，它输出两个给定点的范数。但我不知道这是不是得到EDs的正确方法

import numpy as np

a = np.array([[0, 0, 0 ,0 ], [1, 1 , 1, 1],[2,2, 2, 3], [3,5, 1, 5]])
N = a.shape[0] # number of row
pos = a[1,:] # pick out the second data point. 
dist = np.zeros((N,1), dtype=np.float64)

for i in range(N):
    dist[i]= np.linalg.norm(a[i,:] - pos)

Answer 1

norm是一个函数，它接受一个向量作为输入并返回一个标量值，该标量值可以解释为该向量的“大小”、“长度”或“大小”。更正式地说，规范被定义为具有以下数学性质：

• 它们按倍数缩放，即范数（a·v）=| a |范数（v）对于任何标量a
• 它们满足三角形不等式，即范数（u+v）≤范数（u）+范数（v）
• 当且仅当向量为零向量时，向量的范数为零，即范数（v）=0⇔v=0

欧几里德范数（也称为L 2范数）只是许多不同范数中的一种，也有最大范数、曼哈顿范数等。单个向量的L 2范数等于从该点到原点的欧几里德距离，两向量差的L 2范数等价于两点间的欧几里德距离。

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正如nobar的答案所说，np.linalg.norm(x - y, ord=2)（或者仅仅是np.linalg.norm(x - y)）将给出向量x和y之间的欧氏距离。

由于要计算a[1, :]与a中的每一行之间的欧几里德距离，可以通过消除for循环并在a行上广播来更快地完成此操作：

dist = np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)

使用广播计算欧几里德距离也很容易：

dist = np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))

最快的方法可能是^{}：

from scipy.spatial.distance import cdist

dist = cdist(a[1:2], a)[0]

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（1000，1000）阵列的一些计时：

a = np.random.randn(1000, 1000)

%timeit np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)
# 100 loops, best of 3: 5.43 ms per loop

%timeit np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))
# 100 loops, best of 3: 5.5 ms per loop

%timeit cdist(a[1:2], a)[0]
# 1000 loops, best of 3: 1.38 ms per loop

# check that all 3 methods return the same result
d1 = np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)
d2 = np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))
d3 = cdist(a[1:2], a)[0]

assert np.allclose(d1, d2) and np.allclose(d1, d3)

Answer 2

“范数”的概念是数学中的一个广义概念，当应用于向量（或向量差异）时，它广泛地表示某种长度的度量。计算一个范数有各种不同的方法，但是一个叫做欧几里德距离的方法叫做“2范数”，它是基于应用2的指数（“平方”）和应用1/2的指数（“平方根”）的总和。

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它在the docs中有点神秘，但是通过设置参数ord=2，可以得到两个向量之间的欧几里德距离。

sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

变成sqrt(sum(x**2))。

注意：正如@Holt所指出的，默认值是ord=None，它被记录为计算向量的“2-范数”。因此，这相当于ord=2（欧几里德距离）。