可变边界数组上的scipy积分

Question

我试图在一个点列表上集成一个函数，并将整个数组传递给一个积分函数，以便对它进行矢量化。首先，打电话scipy.integrate.quad太慢了，因为我有10万个点要整合。使用scipy.integrate.romberg公司做这个把戏快得多，几乎是瞬间的，而四边形是慢的，因为你必须循环它或向量化它。在

我的函数很复杂，但是为了演示，假设我想把x^2从a积分到b，但是x是一个用来计算x的标量数组

在 将numpy作为np导入

from scipy.integrate import quad, romberg

def integrand(x, y):   

    return x**2 + y**2


quad(integrand, 0, 10, args=(10) # this fails since y is not a scalar

romberg(integrand, 0, 10)  # y works here, giving the integral over
                           # the entire range 

但这只适用于固定的边界。有没有办法做类似的事情

^{pr2}$

我看到的唯一方法是在numpy中重新实现算法本身，并使用它来代替它，这样我就可以有变量边界了。有支持这种功能吗？还有romb，你必须直接提供被积函数的值和dx区间，但这对于我复杂的函数来说太不精确了（marcum Q函数，找不到任何实现，这可能是另一种方法来点它）。在

Answer 1

当试图计算一个特殊函数时，最好的方法是编写一个函数，它使用函数的属性在所有参数范围内快速而准确地计算它。单一方法不太可能对所有参数范围给出准确（甚至稳定）的结果。在很多情况下，对积分的直接求值几乎肯定会失败。在

也就是说，在多个范围内求一个积分的一般问题，可以通过将积分转化为微分方程来解决。大致来说，步骤是

1. 给定一个积分I（t），我假设它是函数f（x）从0到t的积分[这可以推广到任意的下限]，把它写成微分方程dI/dt=f（x）。在
2. 用scipy.integrate.odeint()对一些初始条件（这里是I（0））在从0到t的某个时间范围内求解这个微分方程。这个范围应该包含所有感兴趣的极限。采样的精细程度取决于函数以及需要对其求值的精确程度。在
3. 结果将是我们输入的t集合的0到t的积分值。我们可以用插值把它变成一个“连续”函数。例如，使用样条线，我们可以定义i = scipy.interpolate.InterpolatedUnivariateSpline(t,I)。在
4. 给定数组b和a中的一组上限和下限，那么我们可以将它们同时计算为res=i(b)-i(a)。在

这种方法在你的情况下是否有效，需要你在你的参数范围内仔细研究。还要注意Marcum Q函数涉及到一个半无限积分。原则上这不是问题，只要把积分变换成有限范围内的一。例如，考虑转换x->；1/x。不能保证此方法对于您的问题在数值上是稳定的。在