如何将双线性和二次型的评价矢量化？

Question

给定任何实系数矩阵nxn矩阵，我们可以定义一个双线性形式

b_A(x, y) = x^TAy ,

一个二次型

q_A(x) = b_A(x, x) = x^TAx .

（对于最常见的二次型的应用，矩阵是对称的，甚至是对称的正定的，如果你的答案很重要的话，你可以假设这两种情况中的任何一种都是这样。）

（此外，FWIW、b_I及q_I（其中I是nxnxnn身份矩阵）分别是标准内积，平方的平方L²2R，即R，即xTy>y，即x^Tyy和xTx）

现在假设我有两个nxm矩阵，x和Y，还有一个nxn矩阵A。本人愿优化两个bAAA（x_，I，y，I）及qAA_{（x，I）（其中x，I及y<及y，I<表示，I表示，I}表示，I表示，I表示，I。分别是x和y的I第th列），我推测，至少在一些环境中，如numpy，R，或Matlab，这将涉及某种形式的矢量化。在

我能想到的唯一解决方案是分别用（块）对角元素X，[Y]和[A，分别生成维数mnXm，mnXm和mnXmn，[Y，IX，IX，A，分别是A。那么所需的计算将是矩阵乘法[X]^T[A][Y]和[X]^T[A][X]。这一策略绝对是毫无创意的，但如果有一种方法在时间和空间上都有效的话，我想看看。（不用说，任何不利用这些块矩阵稀疏性的实现都将注定失败。）

有更好的方法吗？在

我更喜欢使用numpy，但是对于支持高效矩阵计算的其他系统，比如R或Matlab，答案也可以（假设我可以找到如何将它们移植到numpy）。在

谢谢！在

_{当然，计算产品X^TAY和X^TAX的产品计算，当然会计算出所期望的bem>AA}（X_，i，iy_，i）和qqem>eem>em>AA_（X，i，i，i<）（作为生成的mXm矩阵的对角线元素），与（em>O（em>m²）无关的非相关b_{A（em>x，i，i，y，j）和bA一个一个Sem>，j，j），（对于i≠j），所以这不是一个启动程序。}

Answer 1

我们并不完全清楚您要实现什么，但是在R中，您使用crossprod来形成交叉积：给定的矩阵X和{}具有兼容的维数，crossprod(X, Y)返回X^TY。类似地，矩阵乘法是通过%*%运算符实现的：X %*% Y返回乘积XY。因此，你可以得到X^TAY作为crossprod(X, A %*% Y)，而不必担心矩阵乘法、循环等机制。在

如果你的矩阵有一个特殊的结构，允许优化计算（对称、三角形、稀疏、带状等），你可以看看Matrix包，它对此有一些支持。在

我没有用过Matlab，但我相信它对这些操作也有类似的功能。在

Answer 2

如果你想在MATLAB中实现它，它非常简单：

你可以打字

b = x'*A*y;
q = x'*A*x;

我怀疑这是否值得，但如果你想加快速度，你可以试试这个：

^{2}$

Answer 3

以下是numpy中的一个解决方案，它可以满足您的需要：

((np.matrix(X).T*np.matrix(A)).A * Y.T.A).sum(1)

这会对X^T*A进行矩阵乘法，然后进行逐元素数组乘法以乘以Y^T。然后将结果数组的行相加，得到一个一维数组。在