Numpy中虚幂运算的意外结果

Question

我正在使用numpy制作FFT硬件加速器的原型。当我调试基本2x2案例时，我注意到一些奇怪的事情

根据我能找到的每个计算器，e^（-I*pi）等于-1

但是，当我有numpydonp.exp(-1j*np.pi)时，它返回(-1-1.2246467991473532e-16j)

我看不出这个数字，但它看起来不像-1，当你把-1加进去时，它看起来也不像0

我在这里使用的在线计算器是不是错了？或者我记错了数学

Answer 1

这是一个浮点错误- -1.2246467991473532e-16是-0.00000000000000012246467991473532，对于大多数意图和目的是0：

import numpy as np

number = np.exp(-1j * np.pi)
print(number) # (-1-1.2246467991473532e-16j)

number = round(number.real, 10) + round(number.imag, 10) * 1j
print(number) # (-1+0j)

Answer 2

虽然这是真的𝑒^−𝑖𝜋=cos(−𝜋) + 𝑖 罪(−𝜋) = −1，np.exp(-1j * np.pi)传递给np.exp函数的实际上是而不是−𝑖𝜋, 这就是为什么你得不到零

相反，np.pi是对的近似值𝜋 好到大约16位，它有一个相对误差𝜋 10岁以下的儿童⁻¹⁶

和1.2246467991473532 × 10^{−16虽然很小（也许就您的目的而言，它“足够接近”零），但它远不是最小的浮点数，而最小的浮点数远低于10−300}

在np.exp(-1j * np.pi)的虚部中看到的不仅是np.pi的sin值的一个很好的近似值（相对误差小于10^{−16），但实际上大约是np.pi中的绝对误差，近似于𝜋!}

你怎么知道？ np.pi的实际值为3.14159265358979311599796346854418515161590576171875，您可以通过打印高达106位的数字看到这一点（超过了在不同IEEE 754二进制64浮点数之间消除歧义的需要，对于3.141592653589793来说已经足够好了，但这可以显示精确的十进制扩展）：

>>> '%.106g' % (np.pi,)
'3.141592653589793115997963468544185161590576171875'
>>> '%.106g' % (np.imag(np.exp(-1j * np.pi)),)
'-1.22464679914735320717376402945839660462569212467758006379625612680683843791484832763671875e-16'

将它们排成一行，并完全精确地添加教科书：

  3.141592653589793115997963468544185161590576171875
+ 0.000000000000000122464679914735320717376402945839660462569212467758006379625612680683843791484832763671875
                                                       
  3.141592653589793238462643383279505878966979117714660462569212467758006379625612680683843791484832763671875
  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

我们这里有超过30个数字是正确的

为什么这样做有效？ 它之所以有效是因为𝑥 近的𝜋 罪(𝑥) = (𝜋 − 𝑥) + 𝑂((𝜋 − 𝑥)³），通过泰勒展开式。 所以当我们计算sin（np.pi）=sin(𝜋 + 𝛿) 对于一些小的绝对误差𝛿, 我们得到𝜋 − (𝜋 + 𝛿) + 𝑂(𝛿³) ≈ 𝛿.

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然而，请注意，正弦函数是病态的近𝜋. 如果你想知道什么是罪(𝑥) 是什么时候𝑥 近在咫尺𝜋, 但实际上你有𝑥⋅(1 + 𝛿) 对于一些小的相对误差𝛿 在输入中（可能是由于较早的舍入误差，或由于较早的系列截断，或由于测量仪器的限制，或由于任何其他类型的近似），您将返回sin(𝑥⋅(1 + 𝛿)) = 罪(𝑥)⋅(1 + 𝜀) 相对误差𝜀 在输出中，以及𝜀 可能任意大，即使𝛿 它很小

在最坏的情况下，如果你在某一点上评估罪恶𝑥 近的𝜋 比如np.pi当你想要什么的时候(𝜋), 你会得到一个无限的“相对误差”，因为没有有限的数字𝜀 以致于罪恶(𝑥) = 罪(𝜋)⋅(1 + 𝜀); 罪(𝜋) 是零和罪(𝑥) 事实并非如此

因此，您应该警惕依赖于在近似点附近计算sin的计算𝜋—不是因为浮点数，而是因为sin函数本身在那里是病态的

相反，cos在近距离内条件良好𝜋: 输入中的小错误会缩小到输出中更小的错误，这就是np.cos(np.pi)仍然返回的原因−一,