简单的神经网络模型以tanh（x）为激活函数收敛，但对泄漏ReLu不收敛

Question

我正在训练一个简单的人工神经网络模型（MLP），将其用作激活函数tanh(x)，经过一些交互作用后，它收敛，误差等于10^-5，以下是我的完整代码：

import numpy as np
import pandas as pd

# Base de dados a ser treinada
x = pd.DataFrame(
    [[1],
    [2],
    [3]],
    columns=['valores x'])

d = pd.DataFrame(
    [[5],
    [4],
    [3]],
    columns=['valores desejados'])

# Convertendo o dataframe em array e normalizando os valores desejados para ficar entre 0 e +1.
x = x.to_numpy()
d = d/(1.05*d.max())
d = d.to_numpy()


# Derivada de tanh(x) = sech²(x) = 1 - (tanh(x))²
def df(x):
    y = 1 - np.power(np.tanh(x), 2)
    return y

#def rede_mlp(n, x, d, net, k, precisao):

# Construindo a rede de duas camadas 
# net = número de neurônios na primeira camada
# n = taxa de aprendizagem
# precisao = precisão do erro quadrático médio
net=3
n = 0.1
precisao=0.00001
w1 = np.random.rand(net,len(x[0]))
w2 = np.random.rand(1,net)
E_M=1
epocas=0

while E_M>precisao:
    E_M=0
    errofinal=0
    for i in range(0,len(x)):

        # FOWARD
        i1 = np.matmul(w1, x[i].reshape(len(x[i]),1))
        y1 = np.tanh(i1)

        i2 = np.matmul(w2, y1)
        y2 = np.tanh(i2)

        # erro com o valor desejado
        erro = d[i].reshape(len(d[i]),1) - y2

        # BACKPROPAGATION
        delta_2 = erro*df(i2)
        w2 = w2 + n*(np.matmul(delta_2, y1.reshape(1, net)))

        delta_1 = (np.matmul(w2.T, delta_2))*df(i1)
        w1 = w1 + n*(np.matmul(delta_1, x[i].reshape(1, len(x[i]))))

        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2

    E_M = errofinal/len(x)
    epocas+=1
    print(E_M)

在那之后，我尝试将激活函数更改为leaky ReLu，但没有收敛。我已经多次更改了学习速率n，但错误仍然很高。大约是7.95，这对我的数据来说是很大的。以下是我的尝试：

import numpy as np
import pandas as pd


# Base de dados a ser treinada
x = pd.DataFrame(
    [[1],
    [2],
    [3]],
    columns=['valores x'])

d = pd.DataFrame(
    [[5],
    [4],
    [3]],
    columns=['valores desejados'])

# Convertendo o dataframe em array e normalizando os valores desejados para ficar entre 0 e +1.
x = x.to_numpy()
d = d.to_numpy()


def df(x):
    x = np.array(x)
    x[x<=0] = 0.01
    x[x>0] = 1
    return x

def f(x):
    return(np.where(x > 0, x, x * 0.01))



#def rede_mlp(n, x, d, net, k, precisao):

# Construindo a rede de duas camadas 
# net = número de neurônios na primeira camada
# n = taxa de aprendizagem
# precisao = precisão do erro quadrático médio
net=3
n = 1e-4
precisao=0.0001
w1 = np.random.rand(net,len(x[0]))
w2 = np.random.rand(1,net)
E_M=20
epocas=0

while E_M>precisao:
    E_M=0
    errofinal=0
    for i in range(0,len(x)):

        # FOWARD
        i1 = np.matmul(w1, x[i].reshape(len(x[i]),1))
        y1 = f(i1)



        i2 = np.matmul(w2, y1)
        y2 = f(i2)


        # erro com o valor desejado
        erro = d[i].reshape(len(d[i]),1) - y2


        # BACKPROPAGATION
        delta_2 = erro*df(i2)
        w2 = w2 + n*(np.matmul(delta_2, y1.reshape(1, net)))


        delta_1 = (np.matmul(w2.T, delta_2))*df(i1)
        w1 = w1 + n*(np.matmul(delta_1, x[i].reshape(1, len(x[i]))))

        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2

    #E_M = errofinal/len(x)
    E_M = errofinal
    epocas+=1
    print(E_M)

已编辑：

经过一些修改后，这里是我的ReLu代码（但错误仍然很高~7.77）：

import numpy as np
import pandas as pd


# Base de dados a ser treinada
x = pd.DataFrame(
    [[1],
    [2],
    [3]],
    columns=['valores x'])

d = pd.DataFrame(
    [[5],
    [4],
    [3]],
    columns=['valores desejados'])

# Convertendo o dataframe em array e normalizando os valores desejados para ficar entre 0 e +1.
x = x.to_numpy()
d = d.to_numpy()


def df(x):
    return(np.where(x <= 0, 0.01, 1))

def f(x):
    return(np.where(x > 0, x, x * 0.01))


#def rede_mlp(n, x, d, net, k, precisao):

# Construindo a rede de duas camadas 
# net = número de neurônios na primeira camada
# n = taxa de aprendizagem
# precisao = precisão do erro quadrático médio
net=3
n = 1e-3
precisao=0.1
w1 = np.random.rand(net,len(x[0]))
w2 = np.random.rand(1,net)
E_M=20
epocas=0

while E_M>precisao:
    E_M=0
    errofinal=0
    for i in range(0,len(x)):

        # FOWARD
        i1 = np.matmul(w1, x[i].reshape(len(x[i]),1))
        y1 = f(i1)


        i2 = np.matmul(w2, y1)
        y2 = f(i2)


        # erro com o valor desejado
        erro = d[i].reshape(len(d[i]),1) - y2


        # BACKPROPAGATION
        delta_2 = erro*df(i2)
        delta_1 = (np.matmul(w2.T, delta_2))*df(i1)

        w2 = w2 + n*(np.matmul(delta_2, y1.reshape(1, net)))
        w1 = w1 + n*(np.matmul(delta_1, x[i].reshape(1, len(x[i]))))


        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2

    #E_M = errofinal/len(x)
    E_M = errofinal
    epocas+=1
    print(E_M)

Answer 1

您需要为网络添加一个偏差

您试图建模的方程是y = 6 - x，如果您可以使用6作为截距（偏差），这是微不足道的，但我认为如果您不这样做，实际上是不可能的

一旦添加了偏差，许多函数就更容易表示，这就是为什么包含一个是标准实践的原因。这个Q&A on the role of bias in NNs解释得更透彻

我修改了您的代码以添加偏差，并遵循更典型的命名约定，它对我来说是收敛的

net = 3
n = 1e-3
precisao = 0.0001 

w1 = np.random.rand(net, len(x[0])) 
bias1 = np.random.rand()

w2 = np.random.rand(1, net) 
bias2 = np.random.rand()

E_M = 20 
epocas = 0 

while E_M > precisao: 
    E_M = 0 
    errofinal = 0 
    for i in range(0,len(x)): 
        a0 = x[i].reshape(-1, 1) 
        targ = d[i].reshape(-1, 1) 

        z1 = np.matmul(w1, a0) + bias1
        a1 = f(z1) 

        z2 = np.matmul(w2, a1) + bias2
        a2 = f(z2) 

        erro = a2 - targ

        # BACKPROPAGATION 
        delta_2 = erro * df(z2) 
        delta_1 = np.matmul(w2.T, delta_2) * df(z1) 
        bias2 -= n * delta_2
        bias1 -= n * delta_1
        w2 -= n * np.matmul(delta_2, a1.T)
        w1 -= n * np.matmul(delta_1, a0.T)

        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2 

    #E_M = errofinal/len(x) 
    E_M = errofinal 
    epocas += 1 
    if epocas % 1000 == 0:
        print(epocas, E_M) 

我提高了学习速度，以便更快地收敛

1000 [[0.14401507]]
2000 [[0.00028834]]

---

早期错误修复建议

将导数设置为始终等于1

def df(x):
    x = np.array(x)
    x[x<=0] = 0.01
    x[x>0] = 1
    return x

行x[x<=0] = 0.01将所有非正值设置为1/100，一个正值。在这之后，每个值都是正值，因为已经是正值的值不会受到影响，负值或零值只是变成正值。因此，下一行x[x>0] = 1将所有导数设置为1

试试这个：

def df(x):
    return np.where(np.array(x) <= 0, 0.01, 1)