如何在同一表达式中找到自由符号*和*未定义函数？

Question

我想知道如何在一个sympy表达式中找到与Functions相连的符号。我知道^{}，^{}以及^{}。下面是一些代码来说明为什么这些都不能满足我的需要。你知道吗

f1 = Function(r'f_1')
f2 = Function(r'f_2')
c1, x = symbols(r'c_1, x')

expr = c1+f1(x)+f2(x)
print(expr)
# c_1 + f_1(x) + f_2(x)
print(expr.free_symbols)
# {x, c_1}
print(expr.atoms(Function))
# {f_1(x), f_2(x)}

from sympy.core.function import AppliedUndef
print(expr.atoms(AppliedUndef))
# {f_1(x), f_2(x)}

（注释是每个打印行的输出）。所以.free_symbols很好，它给了我c_1和x。但是，它不返回与函数f_1和f_2相关联的符号。（第一个问题：为什么？他们不自由吗？）。.atoms(Function)也无济于事。它查找函数，但不返回它们的相关符号（例如f_1），而是返回整个函数调用（例如f_1(x)）。你知道吗

主要问题：如何找到上述表达式中的符号f_1和f_2？你知道吗

背景：我之所以要这样做，是因为我想用以下方式^{}

expr_num = lambdify([c1, f1, f2, x], expr)

但是我不想手动给出参数[c1, f1, f2, x]，而是希望在表达式中找到所有必要的符号。你知道吗

Answer 1

以下是AppliedUndef函数的免费符号和名称：

>>> s = f(x).free_symbols
>>> func = set([i.func for i in f(x).atoms(Function) if isinstance(i, AppliedUndef)])
>>> s | func
{x, f}

Answer 2

基于公认的solution by @smichr，下面是一段可以直接附加到问题代码中的代码（为了方便起见，没有添加任何有趣的内容）：

f1 = Function(r'f_1')
f2 = Function(r'f_2')
c1, x = symbols(r'c_1, x')

syms_and_funs = set(expr.free_symbols) | set([i.func for i in expr.atoms(Function) if isinstance(i, AppliedUndef)])
print(syms_and_funs)
# {x, f_2, f_1, c_1}

expr_num = lambdify(syms_and_funs, expr)