计算成对积、三重积和等

Question

1）问题表述：

给定一个长度为n的向量：a=[a1,a2,..,an]，我需要计算向量b=[b1,b2,..bn]，这样：

b1=a1+a2+...+an
b2=a1a2+a1a3+...+a1an+a2a3+...+a2an+...+a{n-1}an
b3=a1a2a3+a1a2a4+...+a1a2an+a1a3a4+...
...
bn=a1a2a3...an

b的每个连续条目都包含{}条目的总和、成对乘积之和、三叉积等。在

有没有人知道有效的算法，或者可能是一个实现这种算法的现有库？在

我在想

^{pr2}$

所有其他条目也是如此。在

2）为什么我需要这个：

我想用拉格朗日插值多项式展开进行一维函数积分。我的问题是牛顿-科茨公式的推广。这个公式用于计算定积分。与牛顿·科茨不同，我想计算给定函数f在所选配点处的完全反导数，因此我必须对每个拉格朗日插值多项式进行积分。在

我不需要工作代码。我更感兴趣的是算法，以及这是否已经实现。在

谢谢， 米哈伊尔

编辑：示例：

让a=[1,2,3,4]。在

那么

b=[1+2+3+4,1*2+1*3+1*4+2*3+2*4+3*4,1*2*3+1*2*4+1*3*4+2*3*4,1*2*3*4]=[10,35,50,24]

Answer 1

为了完整起见，我想建议使用递归的我自己的替代解决方案。很容易注意到，如果对于某些a=[a1,a2,...,an]我们知道b=[b1,b2,...bn]，而对于向量{}（使得第一个n项与向量a一致），那么解决方案将是：

b'=[b1+a{n+1},b2+b1*a{n+1},b3+b2*a{n+1},...,b{n}+b{n-1}*a{n+1},b{n}*a{n+1}]

因此，基于递归的解决方案很简单：

^{pr2}$

结果与上述解决方案相同，但是基准测试表明@blhsing提出的解决方案更有效。在