求函数I（a，b，c，d）积分的4维最小值（a，b，c，d）

Question

我有一个讨厌的间断二维积分I(k,k''; J,Jp,a,b,c,d)，它有4个变分参数{}和2个固定常数(J,Jp)。求积分的过程并不简单，有第一步。在

1. 我需要从-pi找到一维积分的根（mu） 到pi

   A = Integrate [ 1/(exp(E(k; a,b,c,d)-mu)+1 ] dk/2pi = 0.5

   其中E是一个由平方根和余弦组成的复杂函数。

2. 找到mu之后，我需要找到这个二维积分的4D（全局）最小值(a,b,c,d)值（相同的-pi到{}极限），并提供J，Jp。在

   result(J,Jp) = Minimum[ Integrate [ I(J,Jp;k,k''; a,b,c,d,mu) ] dk/2pi dk''/2pi ]

复杂函数I基本上看起来像

I(J,Jp;k,k''; a,b,c,d,mu) = A(k)*A(k'')*f(a,b,c,d)*[J cos(k+k'') + Jp cos(k-k'')]

我已经完成了找到假定值为mu的第一步，但不确定如何使用这些值的任意值。除了嵌套所有lambda函数之外还有其他方法吗？即使如此，如何嵌套lambda函数来实现我所需要的功能呢？在

^{pr2}$

我用Mathematica编写了这个过程，但是要得到最小值需要太长时间，有时甚至是错误的。我想把它移植到Python上，我正在学习。谢谢！在

编辑：关于物理系统的更多信息：第一步是通过填充量子系统来寻找费米能级。在费米能级下，我们可以找到使Hartree-Fock系统基态能量最小的变分参数。在

Answer 1

我根本没有看过你的方程式，但我可以告诉你如何嵌套lambdas。您只需将lambda a, b, c, d:添加到当前lambda的前面，然后findmu(a, b, c, d)将返回一个将传递给optimize.fsolve()的函数，例如：

beta=100.0
findmu = lambda a, b, c, d: lambda mu: integrate.quad(lambda k:1.0/(2.0*pi)*1.0/(exp(beta*(0.5*(c+d-2.0*(1.0+b)*cos(k)-sqrt(32.0*(b*cos(k/2.0))**2.0+(c-d-2.0*(1-b)*cos(k))**2.0))-mu))+1.0)-0.5/(2.0*pi), -pi,pi)
mu0 = optimize.fsolve(findmu(1.2, 1.5, 0.1, 0.5),0.0)
# now just tweak the values for the arguments to findmu in subsequent calls

这使得a、b、c、和{}的值闭包，将findmu重命名为make_findmu或类似的东西可能更有意义。在

使用实际函数定义而不是此处的lambdas可能会使代码更具可读性：

^{pr2}$