奇数SciPy-ODE集成

Question

我正在为一个空闲的项目实现一个非常简单的易受感染恢复模型和一个稳定的种群-通常是一个非常琐碎的任务。但是我使用PysCeS或SciPy遇到解算器错误，这两种方法都使用lsoda作为底层解算器。这种情况只发生在参数的特定值上，我不明白为什么。我使用的代码如下：

import numpy as np
from pylab import *
import scipy.integrate as spi

#Parameter Values
S0 = 99.
I0 = 1.
R0 = 0.
PopIn= (S0, I0, R0)
beta= 0.50     
gamma=1/10.  
mu = 1/25550.
t_end = 15000.
t_start = 1.
t_step = 1.
t_interval = np.arange(t_start, t_end, t_step)

#Solving the differential equation. Solves over t for initial conditions PopIn
def eq_system(PopIn,t):
    '''Defining SIR System of Equations'''
    #Creating an array of equations
    Eqs= np.zeros((3))
    Eqs[0]= -beta * (PopIn[0]*PopIn[1]/(PopIn[0]+PopIn[1]+PopIn[2])) - mu*PopIn[0] + mu*(PopIn[0]+PopIn[1]+PopIn[2])
    Eqs[1]= (beta * (PopIn[0]*PopIn[1]/(PopIn[0]+PopIn[1]+PopIn[2])) - gamma*PopIn[1] - mu*PopIn[1])
    Eqs[2]= gamma*PopIn[1] - mu*PopIn[2]
    return Eqs

SIR = spi.odeint(eq_system, PopIn, t_interval)

这会产生以下错误：

 lsoda--  at current t (=r1), mxstep (=i1) steps   
       taken on this call before reaching tout     
      In above message,  I1 =       500
      In above message,  R1 =  0.7818108252072E+04
Excess work done on this call (perhaps wrong Dfun type).
Run with full_output = 1 to get quantitative information.

通常，当我遇到这样的问题时，我建立的方程组有点严重的问题，但我俩都看不出有什么问题。奇怪的是，如果您将mu更改为类似1/15550的值，它也可以工作。如果系统出了问题，我也用R实现了模型，如下所示：

require(deSolve)

sir.model <- function (t, x, params) {
  S <- x[1]
  I <- x[2]
  R <- x[3]
  with (
    as.list(params),
{
    dS <- -beta*S*I/(S+I+R) - mu*S + mu*(S+I+R)
    dI <- beta*S*I/(S+I+R) - gamma*I - mu*I
    dR <- gamma*I - mu*R
  res <- c(dS,dI,dR)
  list(res)
}
  )
}

times <- seq(0,15000,by=1)
params <- c(
 beta <- 0.50,
 gamma <- 1/10,
 mu <- 1/25550
)

xstart <- c(S = 99, I = 1, R= 0)

out <- as.data.frame(lsoda(xstart,times,sir.model,params))

这个也使用lsoda，但似乎进展顺利。有人能看到Python代码中出了什么问题吗？

Answer 1

我认为对于您选择的参数，您遇到了stiffness的问题-由于数值不稳定，解算器的步长在解曲线的斜率实际上相当浅的区域变得非常小。由scipy.integrate.odeint包装的Fortran解算器lsoda试图在适合“stiff”和“non stiff”系统的方法之间自适应地切换，但在这种情况下，似乎无法切换到stiff方法。

非常粗略地说，你只需大幅度增加最大允许步数，解算器最终就会达到：

SIR = spi.odeint(eq_system, PopIn, t_interval,mxstep=5000000)

更好的选择是使用面向对象的ODE解算器scipy.integrate.ode，它允许您显式地选择是使用stiff方法还是非stiff方法：

import numpy as np
from pylab import *
import scipy.integrate as spi

def run():
    #Parameter Values
    S0 = 99.
    I0 = 1.
    R0 = 0.
    PopIn= (S0, I0, R0)
    beta= 0.50     
    gamma=1/10.  
    mu = 1/25550.
    t_end = 15000.
    t_start = 1.
    t_step = 1.
    t_interval = np.arange(t_start, t_end, t_step)

    #Solving the differential equation. Solves over t for initial conditions PopIn
    def eq_system(t,PopIn):
        '''Defining SIR System of Equations'''
        #Creating an array of equations
        Eqs= np.zeros((3))
        Eqs[0]= -beta * (PopIn[0]*PopIn[1]/(PopIn[0]+PopIn[1]+PopIn[2])) - mu*PopIn[0] + mu*(PopIn[0]+PopIn[1]+PopIn[2])
        Eqs[1]= (beta * (PopIn[0]*PopIn[1]/(PopIn[0]+PopIn[1]+PopIn[2])) - gamma*PopIn[1] - mu*PopIn[1])
        Eqs[2]= gamma*PopIn[1] - mu*PopIn[2]
        return Eqs

    ode =  spi.ode(eq_system)

    # BDF method suited to stiff systems of ODEs
    ode.set_integrator('vode',nsteps=500,method='bdf')
    ode.set_initial_value(PopIn,t_start)

    ts = []
    ys = []

    while ode.successful() and ode.t < t_end:
        ode.integrate(ode.t + t_step)
        ts.append(ode.t)
        ys.append(ode.y)

    t = np.vstack(ts)
    s,i,r = np.vstack(ys).T

    fig,ax = subplots(1,1)
    ax.hold(True)
    ax.plot(t,s,label='Susceptible')
    ax.plot(t,i,label='Infected')
    ax.plot(t,r,label='Recovered')
    ax.set_xlim(t_start,t_end)
    ax.set_ylim(0,100)
    ax.set_xlabel('Time')
    ax.set_ylabel('Percent')
    ax.legend(loc=0,fancybox=True)

    return t,s,i,r,fig,ax

输出：

Answer 2

感染人群PopIn[1]衰变为零。显然，（正常）数值不精确导致t=322.9附近的PopIn[1]变为负值（约-3.549e-12）。最后，解在t=7818.093附近爆炸，其中PopIn[0]走向+无穷大，PopIn[1]走向-无穷大。

编辑：我删除了先前的“快速修复”建议。这是一个可疑的黑客行为。