我的问题是关于我在实现概率函数时遇到的数值问题,而不是它背后的概率/数学。我还知道我下面的代码可能没有很好地优化(例如,如果我在comb
中使用exact=False
,我可以将第一个函数矢量化)。所以我对优化建议持开放态度,但这并不是我现在最关心的问题。在
我试图从数值上验证给定的公式here,即“选择n次时从[0,k)得到m个唯一值的概率”。在
为此,在python3.6.5中,我使用numpy.ramdom.choice(k, n, replace=True)
来获得一个multiset,然后计算multiset中的惟一值,保存这个数字。然后重复。在
对于k和n的较小值,模拟和公式之间的一致性很好,所以我很高兴它或多或少是正确的。但是,当k和n稍大时,我从公式中得到负值。我怀疑这是因为它包含了很小的分数和非常大的阶乘的乘积,所以在这些阶段的某些阶段,精度可能会降低。在
为了解决这个问题,我实现了相同的公式,但在最终求幂之前,我尽可能地使用日志。令人恼火的是,它并没有真正起到帮助作用,从下面给出的代码输出中可以看出。在
因此,我的问题是,对于n和k的较大值,有人建议我如何继续实现这个公式?我认为这是由大数和小数的乘积引入的数字怪诞,对吗?在
我的代码:
import numpy as np
import numpy.random as npr
from scipy.special import comb, gammaln
import matplotlib.pyplot as plt
def p_unique_birthdays(m, k, n):
"""PMF for obtaining m unique elements when selecting from [0,k) n times.
I wanted to use exact=True to see if that helped, hence why this is not
vectorised.
"""
total = 0
for i in range(m):
total += (-1)**i * comb(m, i, exact=True) * ((m-i)/k)**n
return comb(k, m, exact=True) * total
def p_unique_birthdays_logs(m, k, n):
"""PMF for obtaining m unique elements when selecting from [0,k) n times.
I use logs to try and deal with some of the numerical craziness that seems
to arise.
"""
total = 0
for i in range(m):
log_mCi = gammaln(m+1) - gammaln(i+1) - gammaln(m-i+1)
log_exp_bit = n * (np.log(m-i) - np.log(k))
total += (-1)**i * np.exp(log_mCi + log_exp_bit)
return comb(k, m, exact=True) * total
def do_stuff(k, n, pmf):
n_samples = 50000
p_ms = np.zeros(n)
for i in range(n):
temp_p = pmf(i+1, k, n)
p_ms[i] = temp_p
print("Sum of probabilities:", p_ms.sum())
samples = np.zeros(n_samples)
for i in range(n_samples):
samples[i] = np.unique(npr.choice(k, n, replace=True)).size
# So that the histogram is centered on the correct integers.
d = np.diff(np.unique(samples)).min()
left_of_first_bin = samples.min() - float(d)/2
right_of_last_bin = samples.max() + float(d)/2
fig = plt.figure(figsize=(8,5))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.grid()
ax.bar(range(1, n+1), p_ms, color="C0",
label=labels[j])
ax.hist(samples, np.arange(left_of_first_bin, right_of_last_bin + d, d),
alpha=0.5, color="C1", density=True, label="Samples")
ax.legend()
ax.set_xlabel("Unique birthdays")
ax.set_ylabel("Normalised frequency")
ax.set_title(f"k = {k}, n = {n}")
#fig.savefig(f"k{k}_n{n}_{labels[j]}.png")
plt.show()
random_seed = 1234
npr.seed(random_seed)
labels = ["PMF", "PMF (logs)"]
pmfs = [p_unique_birthdays, p_unique_birthdays_logs]
for j in range(2):
for k, n in [(30, 20), (60, 40)]:
do_stuff(k, n, pmfs[j])
输出的数字:
谢谢你的任何想法/建议/建议。在
你是对的,这是一些奇怪的数字原因。在
更改此行:
total += (-1)**i * comb(m, i, exact=True) * ((m-i)/k)**n
为此:
total += (-1)**i * comb(m, i, exact=True) * ((m-i)**n)/(k**n)
出于某种原因,如果你强制执行不同的操作顺序,事情就会很顺利地解决。在
您可能需要花更多的时间来弄清楚如何修改您的“日志”版本,但是考虑到上面的更改修复了一些问题,您可能只想完全放弃“日志”版本。在
希望有帮助!在
您可以使用内置的decimal模块来提高精度。在
上面的代码打印0.11484925,与http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+combination(49,x)combination(365,49)++(((49-x)%2F365)%5E50)+*+(-1)%5Ex,+x%3D0+to+49相同
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