Gnuplot伽玛函数

Question

对于GnuPlot中k>；2的gamma函数，如何绘制值为1的gamma CDF？当k>；=2，gamma（k）<；1，并且由于igamma（k，x/theta）在[0，1]（在gnuplot中）中，所以CDF公式的限制是gamma（k）。它给了我这样一个情节

使用的代码如下：

set grid
set yrange[0:*]

gamma1_pdf(x, k, theta) = (1 / (gamma(k)*theta**k))*x**(k-1)*exp(-(x / theta))
gamma1_cdf(x, k, theta) = (1 / gamma(k))*igamma(k, (x / theta))

set term windows 0
plot gamma1_cdf(x, 1.0, 2.0) lc rgb "red", \
     gamma1_cdf(x, 2.0, 2.0) lc rgb "orange", \
     gamma1_cdf(x, 3.0, 2.0) lc rgb "yellow", \
     gamma1_cdf(x, 7.5, 1.0) lc rgb "black"

set term windows 1
plot gamma1_pdf(x, 1.0, 2.0) lc rgb "red", \
     gamma1_pdf(x, 2.0, 2.0) lc rgb "orange", \
     gamma1_pdf(x, 3.0, 2.0) lc rgb "yellow", \
     gamma1_pdf(x, 7.5, 1.0) lc rgb "black"

Answer 1

根据help igamma，gnuplot实现了规范化的不完全伽马函数，对于大x，unnormalized版本接近于该极限下的gamma函数的值。在

幸运的是，撤销规范化很容易：

set xrange [0:30]
igamma2(a,x) = igamma(a,x)*gamma(a)    # unnormalized incoplete gamma function
gamma1_cdf(x, k, theta) = (1 / gamma(k))*igamma2(k, (x / theta))

plot gamma1_cdf(x, 1.0, 2.0) lc rgb "red", \
     gamma1_cdf(x, 2.0, 2.0) lc rgb "orange", \
     gamma1_cdf(x, 3.0, 2.0) lc rgb "yellow", \
     gamma1_cdf(x, 7.5, 1.0) lc rgb "black"