Python中的AKS素数算法

Question

几年前，事实证明PRIMES is in P。有没有在Python中实现their primality test的算法？我想用一个天真的生成器运行一些基准测试，看看它有多快。我会自己去实现它，但我还不太理解这篇论文。

Answer 1

是的，去看看rosettacode.org上的AKS test for primes页面

def expand_x_1(p):
    ex = [1]
    for i in range(p):
        ex.append(ex[-1] * -(p-i) / (i+1))
    return ex[::-1]

def aks_test(p):
    if p < 2: return False
    ex = expand_x_1(p)
    ex[0] += 1
    return not any(mult % p for mult in ex[0:-1])
    print('# p: (x-1)^p for small p')
    for p in range(12):
        print('%3i: %s' % (p, ' '.join('%+i%s' % (e, ('x^%i' % n) if n else '')
                                   for n,e in enumerate(expand_x_1(p)))))

print('\n# small primes using the aks test')
print([p for p in range(101) if aks_test(p)])

结果是：

# p: (x-1)^p for small p
  0: +1
  1: -1 +1x^1
  2: +1 -2x^1 +1x^2
  3: -1 +3x^1 -3x^2 +1x^3
  4: +1 -4x^1 +6x^2 -4x^3 +1x^4
  5: -1 +5x^1 -10x^2 +10x^3 -5x^4 +1x^5
  6: +1 -6x^1 +15x^2 -20x^3 +15x^4 -6x^5 +1x^6
  7: -1 +7x^1 -21x^2 +35x^3 -35x^4 +21x^5 -7x^6 +1x^7
  8: +1 -8x^1 +28x^2 -56x^3 +70x^4 -56x^5 +28x^6 -8x^7 +1x^8
  9: -1 +9x^1 -36x^2 +84x^3 -126x^4 +126x^5 -84x^6 +36x^7 -9x^8 +1x^9
 10: +1 -10x^1 +45x^2 -120x^3 +210x^4 -252x^5 +210x^6 -120x^7 +45x^8 -10x^9 +1x^10
 11: -1 +11x^1 -55x^2 +165x^3 -330x^4 +462x^5 -462x^6 +330x^7 -165x^8 +55x^9 -11x^10 +1x^11

# small primes using the aks test
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Answer 2

快速回答：不，AKS测试不是最快的测试素性的方法。有许多许多更快的素性检验，要么假设（广义）Riemann假设，要么是随机的。（例如Miller-Rabin是一种快速而简单的实现方法）本文的真正突破是理论上的，证明了在不假设GRH或其他未经证明的猜想的情况下，存在一个检验素性的确定的多项式时间算法。

也就是说，如果您想理解并实现它，Scott Aaronson's short article可能会有所帮助。它没有涉及所有的细节，但你可以从第10页开始，共12页，它给出了足够的。:-) 这里还有一个list of implementations（大部分是C++）。

另外，对于优化和改进（几个数量级），您可能需要查看this report，或（旧的）Crandall and Papadopoulos's report，或（旧的仍然）Daniel J Bernstein's report。它们都有相当详细的伪代码，很适合于实现。