Python/numpy中基尼系数的计算

Question

我正在计算Gini coefficient（类似于：Python - Gini coefficient calculation using Numpy），但得到了一个奇怪的结果。对于从np.random.rand()采样的均匀分布，基尼系数是0.3，但我本希望它接近0（完全相等）。这里出什么事了？

def G(v):
    bins = np.linspace(0., 100., 11)
    total = float(np.sum(v))
    yvals = []
    for b in bins:
        bin_vals = v[v <= np.percentile(v, b)]
        bin_fraction = (np.sum(bin_vals) / total) * 100.0
        yvals.append(bin_fraction)
    # perfect equality area
    pe_area = np.trapz(bins, x=bins)
    # lorenz area
    lorenz_area = np.trapz(yvals, x=bins)
    gini_val = (pe_area - lorenz_area) / float(pe_area)
    return bins, yvals, gini_val

v = np.random.rand(500)
bins, result, gini_val = G(v)
plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(bins, result, label="observed")
plt.plot(bins, bins, '--', label="perfect eq.")
plt.xlabel("fraction of population")
plt.ylabel("fraction of wealth")
plt.title("GINI: %.4f" %(gini_val))
plt.legend()
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.hist(v, bins=20)

对于给定的一组数字，上面的代码计算每个百分位bin中总分布值的分数。

结果是：

均匀分布应该接近“完全相等”，这样洛伦兹曲线弯曲就消失了。

Answer 1

基尼系数是洛伦斯曲线下的面积，通常用来分析收入在人口中的分布。https://github.com/oliviaguest/gini使用python为其提供了简单的实现。

Answer 2

这是意料之中的。来自均匀分布的随机样本不会产生均匀值（即所有值都相对接近）。通过一点微积分，可以证明[0，1]上均匀分布的样本基尼系数的期望值（在统计学意义上）是1/3，因此得到给定样本的1/3左右的值是合理的。

你会得到一个更低的基尼系数，比如v = 10 + np.random.rand(500)。这些值都接近10.5；相对变化低于样本v = np.random.rand(500)。 实际上，样本base + np.random.rand(n)的基尼系数的期望值是1/（6*base+3）。

这是基尼系数的一个简单实现。它使用的事实是基尼系数是relative mean absolute difference的一半。

def gini(x):
    # (Warning: This is a concise implementation, but it is O(n**2)
    # in time and memory, where n = len(x).  *Don't* pass in huge
    # samples!)

    # Mean absolute difference
    mad = np.abs(np.subtract.outer(x, x)).mean()
    # Relative mean absolute difference
    rmad = mad/np.mean(x)
    # Gini coefficient
    g = 0.5 * rmad
    return g

以下是几种样本的基尼系数v = base + np.random.rand(500)：

In [80]: v = np.random.rand(500)

In [81]: gini(v)
Out[81]: 0.32760618249832563

In [82]: v = 1 + np.random.rand(500)

In [83]: gini(v)
Out[83]: 0.11121487509454202

In [84]: v = 10 + np.random.rand(500)

In [85]: gini(v)
Out[85]: 0.01567937753659053

In [86]: v = 100 + np.random.rand(500)

In [87]: gini(v)
Out[87]: 0.0016594595244509495