双曲抛物面（双曲抛物面）的表面积

Question

我已经发布了关于这个主题的问题： Speeding up a closest point on a hyperbolic paraboloid algorithm

给定定义doubly ruled hyperbolic paraboloid的四个点（p0，p1，p2，p3），使用python的numpy模块计算其表面积的最佳（最快）方法是什么？在

Answer 1

这是一个数学问题，而不是编程，因此您可能需要与^{}上的人联系。但是，根据对上一个问题的回答，曲面可以参数化为：

s = p0 + u * (p1 - p0) + v * (p3 - p0) + u * v * (p2 - p3 - p1 + p0) =
    p0 + u * a + v * b + u * v * c

四个点所限定的面积是0 <= u <= 1和{}。在

通过微分可以得到两个与曲面相切的向量：

^{pr2}$

你可以得到一个向量，垂直于另外两个向量，范数等于它们所描述的平行四边形的面积，取它们的叉积：

A = t1 x t2 = a x b + u * a x c + v * c x b

简单地对A积分是很有诱惑力的，但是你想要积分的是它的范数，而不是向量本身。我试着把它给Mathematica，看看它是否能想出一些好的，封闭形式的解决方案，但它已经持续了几分钟了，没有到达任何地方。所以你不妨用数字来做：

def integrate_hypar(p0, p1, p2, p3, n=100):
    a = p1 - p0
    b = p3 - p0
    c = p2 - p3 - p1 + p0
    delta = 1 / n
    u = np.linspace(0,1, num=n, endpoint=False) + delta / 2
    axb = np.cross(a, b)
    axc = np.cross(a, c)
    cxb = np.cross(c, b)
    diff_areas = (axb + u[:, None, None] * axc +
                  u[:, None] * cxb) * delta * delta
    diff_areas *= diff_areas
    diff_areas = np.sum(diff_areas, axis=-1)
    diff_areas = np.sqrt(diff_areas)
    return np.sum(diff_areas)

根据你另一个问题的数据，我得到：

p0 = np.array([1.15, 0.62, -1.01])
p1 = np.array([1.74, 0.86, -0.88])
p2 = np.array([1.79, 0.40, -1.46])
p3 = np.array([0.91, 0.79, -1.84])

>>> integrate_hypar(p0, p1, p2, p3)
0.54825122958719719