带h的最长算术级数

Question

最长算术级数子序列问题如下。给定一个整数数组A，设计一个算法来找出其中最长的算术级数。换句话说，找到序列i1<；i2<；…<；ik，这样a[i1]、[i2]、…、a[ik]形成算术级数，k是最大的。下面的代码在O（n^2）时间和空间中解决了这个问题。（改自http://www.geeksforgeeks.org/length-of-the-longest-arithmatic-progression-in-a-sorted-array/。）在

#!/usr/bin/env python
import sys

def arithmetic(arr):
    n = len(arr)
    if (n<=2):
        return n

    llap = 2


    L = [[0]*n for i in xrange(n)]
    for i in xrange(n):
        L[i][n-1] = 2

    for j in xrange(n-2,0,-1):
        i = j-1
        k = j+1
        while (i >=0 and k <= n-1):
            if (arr[i] + arr[k] < 2*arr[j]):
                k = k + 1
            elif (arr[i] + arr[k] > 2*arr[j]):
                L[i][j] = 2
                i -= 1
            else:

                L[i][j] = L[j][k] + 1                   
                llap = max(llap, L[i][j]) 
                i = i - 1
                k = j + 1

        while (i >=0):
            L[i][j] = 2
            i -= 1
    return llap

arr = [1,4,5,7,8,10]  
print arithmetic(arr)

此输出4。在

然而，我希望能够找到算术级数，其中最多有一个值丢失。所以如果arr=[1,4,5,8,10,13]，我希望它报告有一个长度为5的级数，但缺少一个值。在

这能有效地完成吗？在

Answer 1

改编自我对Longest equally-spaced subsequence的回答。n是A的长度，d是范围，即最大项减去最小项。在

A = [1, 4, 5, 8, 10, 13]    # in sorted order
Aset = set(A)

for d in range(1, 13):
    already_seen = set()
    for a in A:
        if a not in already_seen:
            b = a
            count = 1
            while b + d in Aset:
                b += d
                count += 1
                already_seen.add(b)
            # if there is a hole to jump over:
            if b + 2 * d in Aset:
                b += 2 * d
                count += 1
                while b + d in Aset:
                    b += d
                    count += 1
                    # don't record in already_seen here
            print "found %d items in %d .. %d" % (count, a, b)
            # collect here the largest 'count'

我相信这个解决方案仍然是O(n*d)，只是有比没有洞的查找更大的常量，尽管两个嵌套的“for”循环中有两个“while”循环。实际上，修复一个d的值：那么我们就处于运行n次的“a”循环中；但是内部两个while循环中的每一个循环在a的所有值上总共最多运行n次，这又给了一个复杂度O(n+n+n) = O(n)。在

与原始方案一样，此解决方案适用于这样的情况：您对绝对最佳答案不感兴趣，而只对步骤相对较小的子序列d感兴趣：例如，n可能是1'000'000，但您只对最多1'000步的子序列感兴趣。然后你可以让外环停在1000英尺处。在