球谐函数展开的数值计算

Question

为了解决一个更复杂的问题，我试图理解球谐函数展开式，但是我期望从一个非常简单的计算中得到的结果是不正确的。我不知道为什么会这样。在

---

一点理论：众所周知，球面上的函数（）可以定义为某个常数系数和球面谐波的无穷和：

球谐函数定义为：

其中是关联的勒让德多项式。在

最后，常数系数可计算如下（类似于傅立叶变换）：

---

问题：假设我们有一个以为中心的球体，其中曲面上的函数等于所有点的。我们要计算常数系数，然后用近似法反算出曲面函数。由于，常数系数的计算简化为：

其数值（在Python中）可以用以下方法近似：

def Ylm(l,m,theta,phi):
    return scipy.special.sph_harm(m,l,theta,phi)

def flm(l,m):
    phi, theta = np.mgrid[0:pi:101j, 0:2*pi:101j]
    return Ylm(l,m,theta,phi).sum()

然后，通过计算上的带限和，当对于任何给定点，我希望看到。在

^{pr2}$

但是对于，它给了我，而不是{img21}$。对于，它给了我

我知道这似乎是一道数学题，但公式应该是正确的。问题似乎出在我的计算上。这可能是一个非常愚蠢的错误，但我看不出来。有什么建议吗？在

谢谢

Answer 1

球谐函数与内积正交

<f|g> = Integral( f(theta,phi)*g(theta,phi)*sin(theta)*dphi*dtheta)

所以你应该通过

^{pr2}$