真Carmichael函数

Question

我正在为RSA算法创建所有必要的函数。不幸的是，我似乎不能成为一个合适的卡迈克尔函数。在

以下是我编写的函数：

def gcd(a, b):  # Greatest Common Divisor Generator (Euclidean Algorithm)
    while b != 0:  # While remainder exists
        t = b  # Initially r[k-1]
        b = a % t  # Initially r[k] = r[k-2] mod r[k-1] (where r[k-2] is a)
        a = t  # Predecessor of remainder (b)
    return a

def phi(n):  # Leonard Euler's Totient Function
    y = 0
    for k in range(1, n + 1):  # Phi(+n) is the number of integers k in the range (1 <= k >= n)...
        if gcd(n, k) == 1:  # for which gcd(n, k) = 1
            y += 1
    return y

def carmichael(n):  # Robert Daniel Carmichael's Function
    y = (phi(n) * 1/2) if (n > 4 and ((n & (n - 1)) == 0)) else phi(n)  # phi(n) * 1/2 if 2^x = n, else phi(n) * 1
    return y

我用tolient函数来生成数字。据我所知，有一个简单的规则，如果数是2的幂，并且大于4，那么它的质数的量应该减半，否则等于phi（n）。在

上面的规则在我的代码中非常有效，例如，如果输入值为8，则结果如下：

^{pr2}$

但问题是，出于某种原因，Carmichael函数也将其他数字减半，例如，如果输入为12，则函数返回的值如下：

phi(12) = 4
carmichael(12) = 4

但它应该是这样的：

phi(12) = 4
carmichael(12) = 2

为什么会这样？或许非质数奇数应该区别对待？有什么我需要添加到我的功能吗？在

谢谢你！在

Answer 1

首先我们创建gcd函数来计算2个数的最大公约数，稍后在lambda函数中需要它。在

 def gcd(a,b):
        while (a>0):
            b=b%a
            (a,b)=(b,a)
        return b    

---

然后我们来看看carmichael函数是如何工作的。在

Let n be a positive integer. Then λ(n) is defined to be the smallest positive integer k such that
a^k≡1(mod n)
for all a such that gcd(a,n)=1.

注意，我们正在寻找k，一旦有了n，a的值就确定了

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现在我们用默认条件初始化函数

^{pr2}$

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为了找到所有的a值，我们使用gcd(a,n)=1来测试a和n是否有最大的公约数为1，这意味着它们是互质的。
如果不是，则为+
如果gcd(a,n)==1，我们将这个值存储到a的列表中，然后测试下一个a，直到我们测试所有的a<=n

        while not ((gcd(a,n))==1):
            a=a+1

        while ((gcd(a,n))==1) & (a<=n) :
            alist.append(a)
            a=a+1
            while not ((gcd(a,n))==1):
                a=a+1

---

好的，现在我们有一个列表，回头看定义

the smallest positive integer k such that
a^k≡1(mod n)

首先我们计算a的个数，即列表的长度
timer=len(alist)
然后我们使用
if (a**k)%n==1:
测试这个k是否为列表中的所有值生成a^k≡1(mod n)。我们构建一个循环

for a in alist:
      if (a**k)%n==1:
           timer=timer-1
              if timer <0:
                  break
              pass
      else:
           timer=len(alist)
           k=k+1 

为了测试2中的所有k数，如果它不满足要求，我们做k=k+1

---

现在我们有如下的整体功能

    def carmichael(n):
        n=int(n)
        k=2
        a=1
        alist=[]

        while not ((gcd(a,n))==1):
            a=a+1

        while ((gcd(a,n))==1) & (a<=n) :
            alist.append(a)
            a=a+1
            while not ((gcd(a,n))==1):
                a=a+1

        timer=len(alist)
        while timer>=0:
            for a in alist:
                if (a**k)%n==1:
                    timer=timer-1
                    if timer <0:
                        break
                    pass
                else:
                    timer=len(alist)
                    k=k+1
        return k