Scipy:Hermite函数与正交权的积分

Question

我想用scipy.integrate.quad. 在

然而，由于包含了大阶多项式，因此存在数值误差。我的代码是：

import numpy as np
import scipy.integrate
import scipy.special as sp
from math import pi


def makeFuncs():
    # Create the 0th, 4th, 8th, 12th and 16th order hermite function
    return [lambda t, n=n: np.exp(-0.5*t**2)*sp.hermite(n)(t) for n in np.arange(5)*4]

def ambgfun(funcs, i, k, tau, f):
    # Integrate f1(t)*f2(t+tau)*exp(-j2pift) over t from -inf to inf
    f1 = funcs[i]
    f2 = funcs[k]
    func = lambda t: np.real(f1(t) * f2(t+tau) * np.exp(-1j*(2*pi)*f*t))
    return scipy.integrate.quad(func, -np.inf, np.inf)

def main():
    f = makeFuncs()

    print "A00(0,0):", ambgfun(f, 0, 0, 0, 0)
    print "A01(0,0):", ambgfun(f, 0, 1, 0, 0)
    print "A34(0,0):", ambgfun(f, 3, 4, 0, 0)

if __name__ == '__main__':
    main()

hermite函数是正交的，因此所有的积分都应该等于零。但是，它们不是，如输出所示：

^{pr2}$

我怎样才能使这个计算更准确？scipy的hermite函数包含一个用于高斯求积的权值变量，如文档（http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/special.html#orthogonal-polynomials）中所示。然而，我在文档中没有发现如何使用这些权重的提示。在

希望您能帮忙：）

谢谢，麦克斯

Answer 1

答案是，你得到的结果在数值上是接近于零的。我不认为如果你用浮点数来处理，你真的不可能得到更好的结果——你在数值积分中面临着一个普遍的问题。在

考虑一下这个：

import numpy as np
from scipy import integrate, special
f = lambda t: np.exp(-t**2) * special.eval_hermite(12, t) * special.eval_hermite(16, t)

abs_ig, abs_err = integrate.quad(lambda t: abs(f(t)), -np.inf, np.inf)
ig, err = integrate.quad(f, -np.inf, np.inf)

print ig
# -10.203125
print abs_ig
# 2.22488114805e+15
print ig / abs_ig, err / abs_ig
# -4.58591912155e-15  1.18053770382e-14

因此，被积函数的计算精度与浮点epsilon相当。由于在大幅度振荡被积函数的减法中存在舍入误差，因此不可能得到更好的结果。在

那么如何继续呢？以我的经验，你现在需要做的是解决这个问题，而不是从数字上，而是从分析上。重要的是，Hermite多项式的Fourier变换乘以权函数是已知的，所以你可以一直在Fourier空间中工作。在