添加新方程式时得出不同的结果

Question

希望你们都好

这是我的第一个问题，如果有什么不对劲，我很抱歉

我正在研究一些动力系统的数值稳定性和混沌性，更具体地说，是关于由3个二阶微分方程组定义的圆形限制三体问题（CR3BP）。在将这三个二阶微分方程转化为六个一阶微分方程as seen here之后，我最终可以使用scipy的ODEINT对它们进行数值计算Here's an example of an orbit integrated for T = 2^10 with n = 2^18 points (np.linspace(1, 2^10, 2^18))下面是我的一些代码，主要功能是集成的：

def func(init, t, mu):
    #x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0 = init
    x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0 = init[0], init[1], init[2], init[3], init[4], init[5]
    
    dx1dt1 = vx0
    dy1dt1 = vy0
    dz1dt1 = vz0
    
    dx2dt2 = 2*dy1dt1+d_omega_x(mu, x0, y0, z0)
    dy2dt2 = -2*dx1dt1+d_omega_y(mu, x0, y0, z0)
    dz2dt2 = d_omega_z(mu, x0, y0, z0)
    
    return np.array([dx1dt1, dy1dt1, dz1dt1, dx2dt2, dy2dt2, dz2dt2])#, dx2dt2, dy2dt2, dz2dt2])

其中x，y，z，vx，vy，vz=（0.848,0,0,0,0.0423,0）和mu=0.01215

然后是稳定部分。我正在使用一个名为Fast Lyapunov Indicator的混沌检测工具。它基本上是由v'（t）=Df（x）v（t）定义的，其中Df（x）是方程组的雅可比矩阵（在本例中为6x6矩阵），v（t）是一个切线向量，将随时间与CR3BP的六个原始方程一起演化，然后我取积分v（t）的六个分量的范数的log10，并选取最高值

人们可能会注意到，从v'（t）=Df（x）v（t）获得的6个“辅助”向量取决于原始6个方程（更具体地说，取决于粒子的位置x、y、z），但六个原始方程并不取决于与v'（t）定义的切线映射相关的六个新方程以及v（0）的六个初始条件

因此，我们必须对12个一阶微分方程进行积分。发生的事情是，每次我为v（0）设置非空初始向量时，对于CR3BP的一些初始条件（就像用于生成上述图形的初始条件）the results obtained are different than those obtained by the integration of only the six original equations，因为系统“崩溃”到x=y=0，积分器告诉我一些错误，而不是“积分成功”，这与应该发生的情况不同。这里，v（0）=（1，0，0，1，0，0）

唯一的一个循环不稳定性，其中我对两个积分is when v(0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)有相同的结果，但是我不能得到快速Lyapunov指示符的值

以下是新函数的代码片段，其中包括六个新的Lyapunov指示器方程：

def func2(init, t, mu):
    #x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0 = init
    x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0 = init[0], init[1], init[2], init[3], init[4], init[5]
    v0, v1, v2, v3, v4, v5 = init[6], init[7], init[8], init[9], init[10], init[11]
    #print(init)
    dx1dt1 = vx0
    dy1dt1 = vy0
    dz1dt1 = vz0
    
    dx2dt2 = 2*dy1dt1+d_omega_x(mu, x0, y0, z0)
    dy2dt2 = -2*dx1dt1+d_omega_y(mu, x0, y0, z0)
    dz2dt2 = d_omega_z(mu, x0, y0, z0)
    
    
    
    r1 = r11(mu, x0, y0, z0)
    r2 = r22(mu, x0, y0, z0)
    

    jacobiana = [v3,
                 v4,
                 v5,
                 (v0*(mu*(-3*mu - 3*x0 + 3)*(-mu - x0 + 1)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) -
                      mu/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(3/2) + 
                      (1 - mu)*(-3*mu - 3*x0)*(-mu - x0)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2) - 
                      (1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(3/2) + 1.0) +
                  v1*(-3*mu*y0*(-mu - x0 + 1)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) - 
                      3*y0*(1 - mu)*(-mu - x0)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2)) + 
                  v2*(-3*mu*z0*(-mu - x0 + 1)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) - 
                      3*z0*(1 - mu)*(-mu - x0)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2)) + 2*v4),
               
                  (v0*(-mu*y0*(-3*mu - 3*x0 + 3)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) - 
                      y0*(1 - mu)*(-3*mu - 3*x0)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2)) + 
                 v1*(3*mu*y0**2/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) - 
                     mu/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(3/2) +
                     3*y0**2*(1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2) -
                     (1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(3/2) + 1.0) + 
                 v2*(3*mu*y0*z0/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) + 
                     3*y0*z0*(1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2)) - 2*v3),
               
                 (v0*(-mu*z0*(-3*mu - 3*x0 + 3)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) - 
                      z0*(1 - mu)*(-3*mu - 3*x0)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2)) + 
                  v1*(3*mu*y0*z0/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) + 
                      3*y0*z0*(1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2)) + 
                  v2*(3*mu*z0**2/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(5/2) - 
                      mu/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0 - 1)**2)**(3/2) +
                      3*z0**2*(1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(5/2) - 
                      (1 - mu)/(y0**2 + z0**2 + (mu + x0)**2)**(3/2) + 1.0))]
    fli = jacobiana
    dv1 = fli[0]
    dv2 = fli[1]
    dv3 = fli[2]
    dv4 = fli[3]
    dv5 = fli[4]
    dv6 = fli[5]
   
    return [dx1dt1, dy1dt1, dz1dt1, dx2dt2, dy2dt2, dz2dt2, dv1, dv2, dv3, dv4, dv5, dv6]

怎么办？这显然是浮点精度的问题，因为每次运行代码时，我都会得到一些不同的结果When I increase the number of points in np.linspace (in this case to 2^20 points), i tend to get correct results，但我不可能总是处理超过一百万个点，而在另一种情况下，我可以用少4倍的数据得到正确的结果。我需要对数据应用连续小波变换，因此它变得非常消耗

再一次，如果问题太长或让人困惑，我很抱歉，如果需要，我可以提供更多的信息

无论如何，非常感谢您的关注，请注意安全

编辑：

正如Lutz所指出的，遵循系统的自然动力学，混沌轨道由指数增加的Lyapunov指标值定义——这实际上是由范数的log10定义的，而不仅仅是范数——它证明了初始向量v（0）必须相当小，这样结果就不会溢出。尝试（1e-10,0,0,0,0,0,0）returns the correct integration. The curve profile for the Lyapunov indicator is also correct, just shifted by a factor log10(1e-10).

再次非常感谢

Answer 1

这可能是由于步长控制也受到快速增长的v向量的影响。由于刚度，或者更可能由于增加步长以匹配主要部件，从而变得不适合原始轨迹的精确积分，通过快速降低步长来调节。这种快速增长是引入李雅普诺夫指数的原因，因为它们以有界的数字捕捉这种增长

您可以做的是将集成拆分为更小的块，并在每个块的开始处规范化v向量。我们必须对v组件过度控制步长控制所需的时间进行实验。由于耦合是纯乘法的，因此动力学理论上是线性的。因此，如果您将初始v缩放为norm 1e-100，这也会有所帮助

但是，首先检查您使用的误差公差。将它们设置得更窄也有助于稳定计算。如果将最大步长hmax设置为外部步长的一半左右，也可能会取得一些进展

或者你可以像我在https://scicomp.stackexchange.com/questions/36013/numerical-computation-of-lyapunov-exponent中探讨的那样进行李雅普诺夫指数计算。然而，这种方法通过本征/奇异向量的n x n矩阵和指数乘以时间的n乘积来增加维数n系统