用左特征值求马尔可夫稳态（使用numpy或scipy）

Question

我需要使用一些python代码，利用Markov模型的转移矩阵的左特征向量来求出它们的稳态。在

在this question中已经确定西皮.利纳格.艾格无法提供所述的实际左特征向量，但在那里演示了修复。官方文件大多是无用的，像往常一样令人费解。在

比不正确的格式更大的问题是，产生的特征值不是以任何特定的顺序排列的（没有排序，每次都不同）。因此，如果你想找到对应于1个特征值的左特征向量，你必须去寻找它们，这就带来了它自己的问题（见下文）。数学是清楚的，但是如何让python计算这个值并返回正确的特征向量还不清楚。这个问题的其他答案，比如this one，似乎没有使用左特征向量，所以这些不可能是正确的解。在

This question提供了一个部分解，但它不能解释较大转移矩阵的无序特征值。所以，就用

leftEigenvector = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
leftEigenvector = leftEigenvector / sum(leftEigenvector)

很接近，但一般不起作用，因为[:,0]位置的条目可能不是正确特征值的特征向量（在我的例子中通常不是）。在

好的，但是scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)的输出是一个数组，其中[0]元素是每个特征值的列表（不是按任何顺序排列），在{}位置后面是与这些特征值相对应的特征向量数组。在

我不知道一个很好的方法来通过特征值对整个事情进行排序或搜索，从而找出正确的特征向量（特征值为1的所有特征向量都被向量项的和规范化了）。我的想法是得到特征值的索引等于1，然后从特征向量数组中提取这些列。我的版本是缓慢和繁琐的。首先，我有一个函数（不太管用）来查找与值匹配的鞋楦位置：

^{pr2}$

然后我用它来得到匹配特征值=1的特征向量。在

M = transitionMatrix( G )
leftEigenvectors = scipy.linalg.eig(M,left=True,right=False)
unitEigenvaluePositions = findPositions(leftEigenvectors[0], 1.000)
steadyStateVectors = []
for i in unitEigenvaluePositions:
    thisEigenvector = leftEigenvectors[1][:,i]
    thisEigenvector / sum(thisEigenvector)
    steadyStateVectors.append(thisEigenvector)
print steadyStateVectors

但实际上这不管用。有一个特征值=1.00000000e+00 +0.00000000e+00j找不到，即使另外两个也找不到。在

我的期望是我不是第一个使用python来发现Markov模型的平稳分布的人。更精通/更有经验的人可能有一个可行的通用解决方案（无论是否使用numpy或scipy）。考虑到马尔可夫模型有多流行，我希望有一个库来完成这个任务，也许它确实存在，但我找不到。在

Answer 1

您链接到How do I find out eigenvectors corresponding to a particular eigenvalue of a matrix?并说它不计算左特征向量，但是您可以通过处理转置来修复它。在

例如

In [901]: import numpy as np

In [902]: import scipy.sparse.linalg as sla

In [903]: M = np.array([[0.5, 0.25, 0.25, 0], [0, 0.1, 0.9, 0], [0.2, 0.7, 0, 0.1], [0.2, 0.3, 0, 0.5]])

In [904]: M
Out[904]: 
array([[ 0.5 ,  0.25,  0.25,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.1 ,  0.9 ,  0.  ],
       [ 0.2 ,  0.7 ,  0.  ,  0.1 ],
       [ 0.2 ,  0.3 ,  0.  ,  0.5 ]])

In [905]: eval, evec = sla.eigs(M.T, k=1, which='LM')

In [906]: eval
Out[906]: array([ 1.+0.j])

In [907]: evec
Out[907]: 
array([[-0.32168797+0.j],
       [-0.65529032+0.j],
       [-0.67018328+0.j],
       [-0.13403666+0.j]])

In [908]: np.dot(evec.T, M).T
Out[908]: 
array([[-0.32168797+0.j],
       [-0.65529032+0.j],
       [-0.67018328+0.j],
       [-0.13403666+0.j]])

要规范化特征向量（您知道应该是实数）：

^{pr2}$

如果您事先不知道特征值1的重数，请参阅@pv的注释，使用scipy.linalg.eig显示代码。下面是一个例子：

In [984]: M
Out[984]: 
array([[ 0.9 ,  0.1 ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.3 ,  0.7 ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.25,  0.75,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.5 ,  0.5 ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  ,  0.  ]])

In [985]: import scipy.linalg as la

In [986]: evals, lvecs = la.eig(M, right=False, left=True)

In [987]: tol = 1e-15

In [988]: mask = abs(evals - 1) < tol

In [989]: evals = evals[mask]

In [990]: evals
Out[990]: array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])

In [991]: lvecs = lvecs[:, mask]

In [992]: lvecs
Out[992]: 
array([[ 0.9486833 ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.31622777,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , -0.5547002 ,  0.        ],
       [ 0.        , -0.83205029,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.70710678],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.70710678]])

In [993]: u = lvecs/lvecs.sum(axis=0, keepdims=True)

In [994]: u
Out[994]: 
array([[ 0.75, -0.  ,  0.  ],
       [ 0.25, -0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.4 ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.6 ,  0.  ],
       [ 0.  , -0.  ,  0.5 ],
       [ 0.  , -0.  ,  0.5 ]])

In [995]: np.dot(u.T, M).T
Out[995]: 
array([[ 0.75,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.25,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.4 ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.6 ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.5 ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.5 ]])