找出三个最近的点，其中三角形包含球体上的给定点

Question

我有一个表面上有点的3D球体。这些点以球坐标表示，因此方位角、仰角和r

例如，我的数据集是一个矩阵，包含给定球体上的所有可用点：

  azimuth       elevation     r
[[  0.          90.           1.47      ]
 [  0.          85.2073787    1.47      ]
 [  0.          78.16966379   1.47      ]
 [  0.          70.30452954   1.47      ]
 [  0.          62.0367492    1.47      ]
 [  0.          53.56289304   1.47      ]
 [  0.          45.           1.47      ]
 [  0.          36.43710696   1.47      ]
 [  0.          27.9632508    1.47      ]
 [  0.          19.69547046   1.47      ]
 [  0.          11.83033621   1.47      ]
 [  0.           4.7926213    1.47      ]
 [  0.           0.           1.47      ]
 [  0.          -4.7926213    1.47      ]
 [  0.         -11.83033621   1.47      ]
 [  0.         -19.69547046   1.47      ]
 [  0.         -27.9632508    1.47      ]
 [  0.         -36.43710696   1.47      ]
 [  0.         -45.           1.47      ]
 [  0.         -53.56289304   1.47      ]
 [  0.         -62.0367492    1.47      ]
 [  0.         -70.30452954   1.47      ]
 [  0.         -78.16966379   1.47      ]
 [  0.         -85.2073787    1.47      ]
 [  0.         -90.           1.47      ]
 [  1.64008341  -1.6394119    1.47      ]
 [  1.64008341   1.6394119    1.47      ]
 [  2.37160039   8.01881788   1.47      ]
 [  2.37160039  -8.01881788   1.47      ]
 [  2.80356493 -15.58649429   1.47      ]
 [  2.80356493  15.58649429   1.47      ]
 [  3.16999007  23.70233802   1.47      ]
 [  3.16999007 -23.70233802   1.47      ]
 [  3.56208248 -32.09871039   1.47      ]
 [  3.56208248  32.09871039   1.47      ]
 [  4.04606896  40.63141594   1.47      ]
 [  4.04606896 -40.63141594   1.47      ]
 [  4.1063771   -4.09587122   1.47      ]
ecc...

注意：我故意省略了完整的数据矩阵，因为它包含了相当多的数据。如果需要/需要使问题完全可再现，我将提供完整数据

此矩阵表示类似于此图像的内容：

给定一个任意点，我想计算数据集中“包含”输入点的3个最近点

到目前为止，我的代码如下：

def compute_three_closest_positions(self, azimuth_angle, elevation):
    requested_position = np.array([azimuth_angle, elevation, 0])

    # computing the absolute difference between the requested angles and the available one in the dataset
    result = abs(self.sourcePositions - requested_position) #subtracting between dataset and requested point
    result = np.delete(result, 2, 1) # removing the r data 
    result = result.sum(axis=1) #summing the overall difference for each point

    # returning index of the closest points
    indexes = result.argsort()[:3] 

    closest_points = self.sourcePositions[indexes]
    
    return closest_points 

基本上，我是从矩阵数据集中的所有点（self.sourcePositions）中减去请求的方位角和仰角，然后对每个点的这些差异求和，计算前3个最小索引，然后使用这些索引访问数据集中的点

代码运行良好，问题是有时我会得到3个不包含请求点的最近点

示例：

错的一个：

  Requested point: azimut, elevation, distance
    [200   0   1.47]
    # As you might notice, the requested point is not inside the triangle created by the 3 closest points
    Three closest points: azimut, elevation, distance
    [[199.69547046   0.           1.47      ]
     [199.40203659   5.61508214   1.47      ]
     [199.40203659  -5.61508214   1.47      ]]

好的：

Requested position:
[190   0   1.47]
# As you can notice, in this case the requested point is inside the triangle generated by the closest 3 points
Three closest points:
[[191.83033621   0.           1.47      ]
 [188.02560265   2.34839855   1.47      ]
 [188.02560265  -2.34839855   1.47      ]]

我如何解决这个问题？我想得到3个最近的点，其中“三角形”（我在球面上，所以它不是真正的三角形）包含我请求的点

Answer 1

从一开始azimut+elevation听起来不适合这个，我更喜欢latitude+longitudetherms，因为您使用的是其他东西

现在，如注释中所述，如果您的点形成一个规则的网格，您可以创建一个方程，将拓扑映射到点，然后再映射到由数组中的点的整数索引（或2个索引）描述拓扑的位置。但是，如果您无法推断这一点，或者网格不规则，则可以执行以下操作：

1. 对数组重新排序，使其按纬度和长度排序

   所以经度在<0,2*PI>中，纬度在<-PI/2,+PI/2>中，所以我将根据这两个参数对数组进行排序，而纬度具有更大的优先级（权重）。让我们调用这个新数组pnt[]

2. 将点p映射到球体的最近顶点

   只需进行二进制搜索pnt[]，直到找到比p更大或相等纬度的点索引ix

   然后从ix线性搜索（如果您将pnt[]重新排序为切片或记住每个纬度有多少个点，则可以使用二进制搜索），直到找到小于或等于p的最大纬度

   现在pnt[ix]是球面上距离p最近的点

3. 列出与pnt[ix]最近的邻居

   所以简单地说pnt[ix]是从经度的左侧开始的，所以pnt[ix+1]应该是下一个点（如果你穿过数组大小，你需要用蛮力检查这些点，但只是数组中的最后几个点）

   现在我们只需要在这两个点的下方或上方找到相应的点（取决于p在哪一侧）。因此，以与#2相同的方式找到离p最近的两个点，但纬度越小越大（前后各一个切片）。这将得到3*2 points，它形成（始终使用首先找到的2个点）4个潜在三角形

4. 测试可能的三角形

   所以你们有势三角形p0,p1,p2，它和球面平行。因此，只需将点投影到其平面上：

   u = p1-p0
   v = p2-p0
   v = cross(u,v)
   v = cross(u,v)
   p' = p0 + dot(p-p0,u)*u + dot(p-p0,v)*v
   

   所以u,v是基向量p0是平面的原点。。。现在p'的测试在三角形内部，所以使用2D和重心坐标或利用叉积检查CW/CCW，如：

    if (dot(cross(p1-p0,p'-p0),p')>=0)
     if (dot(cross(p2-p1,p'-p1),p')>=0)
      if (dot(cross(p0-p2,p'-p2),p')>=0)
       point_is_inside;
    if (dot(cross(p1-p0,p'-p0),p')<=0)
     if (dot(cross(p2-p1,p'-p1),p')<=0)
      if (dot(cross(p0-p2,p'-p2),p')<=0)
       point_is_inside;
   

   因此，如果三角形的所有三条边对p'的顺时针/逆时针方向的距离相同，那么您就找到了三角形