一类非线性方程的根问题

Question

我有一个双曲函数，我需要找到它的0。我尝试过各种经典方法（二分法、牛顿法等）

二阶导数是连续的，但在分析上是不可访问的，所以我必须排除使用它们的方法

就我的应用而言，牛顿法是唯一一种提供足够速度的方法，但如果我离实际零点不够近，它相对不稳定。以下是一个简单的屏幕截图：

零点在0.05左右。由于函数在0处发散，如果我的初始猜测值大于某个范围内的最小位置，那么我显然对渐近线有问题

在这种情况下，是否有一种更稳定的方法最终能提供与牛顿相当的速度

我还想把这个函数变换成一个等价的更好的函数，用相同的零，然后再应用牛顿，但我真的不知道我能做哪些变换

任何帮助都将不胜感激

Answer 1

用log（x）代替x怎么样

Answer 2

对于你的情况，@sams studio的答案可能有用，我会先试试。在类似的情况下，也在多变量环境中，我使用了牛顿同伦方法

基本上，可以限制牛顿步长，直到y的绝对值下降。 最便宜的实现方法是，如果y从上一步开始增加，则可以减少牛顿步的一半。经过几步，你回到牛顿，完全二阶收敛

Disclamer：如果你能约束你的解（你知道一个极大的x），那么@Lutz Lehmann的答案也是我的第一选择

Answer 3

Dekker或Brent的方法应该几乎和牛顿一样快。如果你想自己实现一些简单的东西，regula-falsi方法的伊利诺伊变体也相当快。这些都是括号内的方法，因此如果初始间隔在域内，则不应离开域

def illinois(f,a,b,tol=1e-8):
    '''regula falsi resp. false postion method with
        the Illinois anti-stalling variation'''
    fa = f(a)
    fb = f(b)
    if abs(fa)<abs(fb): a,fa,b,fb = b,fb,a,fa
    while(np.abs(b-a)>tol):
        c = (a*fb-b*fa)/(fb-fa)
        fc = f(c)
        if fa*fc < 0:
            fa *= 0.5
        else:
            a, fa = b, fb
        b, fb = c, fc
    return b, fb