尝试解决凸极小化/二进制规划问题时出现CVXPY错误

Question

我正试图解决我提交给QSE的一个问题，https://quant.stackexchange.com/questions/65680/find-k-of-n-assets-that-minimize-the-correlation-matrix/，但我在使用cvxpy库时遇到了一个问题。也就是说，我认为这是一个凸二元规划问题，cvxpy说“不遵循DCP规则”

我试图解决的问题是：“从给定的10种风险资产中，找出5种相关性最小的资产”。我目前解决这个问题的方法是

1. 抓住每项资产的回报
2. 找到这些返回的相关矩阵C
3. 将凸优化问题表述为
   • x是一个二进制向量
   • x的条目之和为5
   • C' = transpose(C * x) * x是一个矩阵，其中{}的第{}行和第{}列在x的第i项为0（否则不为零）时为“零”。注：我想知道这是否是我的问题所在。这是我能想到的最好的方法，可以从相关矩阵C中删除对应于“被拒绝”资产的条目
   • 最后，我想最小化C'的平方和。这将给我一个类似于5个相关性最小的资产组合的东西

以下是迄今为止我所拥有的非工作代码

import pandas as pd
import pandas_datareader as web
import datetime as dt
import cvxpy as cvx

stocks = ['SHW', 'GOOG', 'AMZN', 'WMT', 'XOM', 'JNJ', 'UPS', 'AMT', 'AAPL', 'NEE']
start = dt.datetime(2015, 1, 1)
end = dt.datetime(2020, 1, 1)
d = web.DataReader(stocks, 'yahoo', start, end)['Adj Close']
corr = d.corr().to_numpy()

x = cvx.Variable(len(stocks), boolean=True)
cost = cvx.sum_squares((corr @ x).T @ x)
prob = cvx.Problem(cvx.Minimize(cost), [cvx.sum(x) == 5])
prob.solve(solver='ECOS_BB')

以及它产生的错误

DCPError: Problem does not follow DCP rules. Specifically:
The objective is not DCP. Its following subexpressions are not:

# The corr array

我还尝试用一些不起作用的方式重新表述这个问题，包括

• 使用具有cvxpy布尔和对称属性的cvxp变量矩阵X。如果它是对称的，并且每行和为5，那么我有一个矩阵，我可以对它进行元素乘法，以找到C'。这不起作用，因为一个变量只允许有一个属性（奇怪的cvxpy限制）
• 使用cvxp变量二进制矩阵X和cvxp变量对称矩阵Y，并包括X == Y的约束（以绕过2属性限制）。我不记得为什么这不起作用了
• 使用cvxp变量二进制矩阵X，并约束每i行的和为5，并且第i行等于第j列。我在这方面遇到了麻烦，因为测试X[i] == X[:i]会产生一个布尔数组，我不知道如何使用cvxpy减少它
• 我还尝试使用一个非-二进制cvxpy变量向量x，并试图将x的第i个值约束为0或1，但约束x[i] == 0 || x[i] == 1无效，因为||--我也找不到cvxpy逻辑或条件

所以我试着用几种不同的方式来重新表述，但每种策略都会遇到问题。我想知道是否有人能帮我

1. 确定这是否是cvxpy可以解决的问题。如果不是，我如何改变它来解决我想要的问题？如果这是cvxpy可以解决的问题
2. 如何使用当前代码纠正其问题

谢谢你抽出时间

Answer 1

我认为C'不是矩阵，而是标量：

transpose(C * x) * x = (Cx)'x=x'C'x=x'Cx

（我在这里使用“转置”）所以这个的平方和没有多大意义

您的问题可能只是基数约束的投资组合问题吗

或简化：

  min x'Cx
  sum(x) = k
  x ∈ {0,1}

与x中所选资产对应的C行和列是您要查找的子矩阵