使用绝对值和决策变量划分的成本函数

Question

我试图在pydrake数学程序中实现一个成本函数，但是每当我试图除以决策变量并使用abs（）时，就会遇到问题。我尝试实现的一个简短版本如下，我试图只包含我认为可能相关的内容

    T = 50
    na = 3
    nq = 5

    prog = MathematicalProgram()
    h = prog.NewContinuousVariables(rows=T, cols=1, name='h')
    qd = prog.NewContinuousVariables(rows=T+1, cols=nq, name='qd')
    d = prog.NewContinuousVariables(1, name='d')
    u = prog.NewContinuousVariables(rows=T, cols=na, name='u')

    def energyCost(vars):
       assert vars.size == 2*na + 1 + 1
       split_at = [na, 2*na, 2*na + 1]
       qd, u, h, d = np.split(vars, split_at)
       return np.abs([qd.dot(u)*h/d])

    for t in range(T):
       vars = np.concatenate((qd[t, 2:], u[t,:], h[t], d))
       prog.AddCost(energyCost, vars=vars)

    initial_guess = np.empty(prog.num_vars())
    solver = SnoptSolver()
    result = solver.Solve(prog, initial_guess)

我得到的错误是：

RuntimeError                              Traceback (most recent call last)
<ipython-input-55-111da18cdce0> in <module>()
     22 initial_guess = np.empty(prog.num_vars())
     23 solver = SnoptSolver()
---> 24 result = solver.Solve(prog, initial_guess)
     25 print(f'Solution found? {result.is_success()}.')

RuntimeError: PyFunctionCost: Output must be of .ndim = 0 (scalar) and .size = 1. Got .ndim = 2 and .size = 1 instead.

据我所知，问题在于输出的维度，但我不确定如何继续。我花了相当长的时间试图解决这个问题，但收效甚微。我还尝试将np.abs更改为pydrake.math.abs，但随后出现以下错误：

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-56-c0c2f008616b> in <module>()
     22 initial_guess = np.empty(prog.num_vars())
     23 solver = SnoptSolver()
---> 24 result = solver.Solve(prog, initial_guess)
     25 print(f'Solution found? {result.is_success()}.')

<ipython-input-56-c0c2f008616b> in energyCost(vars)
     14     split_at = [na, 2*na, 2*na + 1]
     15     qd, u, h, d = np.split(vars, split_at)
---> 16     return pydrake.math.abs([qd.dot(u)*h/d])
     17 
     18 for t in range(T):

TypeError: abs(): incompatible function arguments. The following argument types are supported:
    1. (arg0: float) -> float
    2. (arg0: pydrake.autodiffutils.AutoDiffXd) -> pydrake.autodiffutils.AutoDiffXd
    3. (arg0: pydrake.symbolic.Expression) -> pydrake.symbolic.Expression

Invoked with: [array([<AutoDiffXd 1.691961398933386e-257 nderiv=8>], dtype=object)]

任何帮助都将不胜感激，谢谢

Answer 1

顺便说一句，正如托比亚所提到的，在成本函数中划分决策变量可能会有问题。有两种方法可以避免这个问题

1. 对决策变量施加一个边界，并且0不包括在此边界中。例如，假设您想要优化

   min f(x) / y
   

   如果可以施加一个y > 1的边界，那么SNOPT将不会尝试使用y=0，因此可以避免被零除的问题

2. 一个技巧是引入另一个变量作为除法的结果，然后最小化这个变量

   例如，假设您想要优化

   min f(x) / y
   

   您可以引入一个slack变量z = f(x) / y。把这个问题表述为

   min z
   s.t f(x) - y * z = 0
   

Answer 2

一些意见：

• 您尝试使用的成本函数不需要强制使用python函数。您可以直接说（即使它会引起其他错误）prog.AddCost(np.abs([qd[t, 2:].dot(u[t,:])*h[t]/d]))

• prog.AddCost的参数必须是Drake标量表达式。因此，请确保numpy矩阵乘法返回标量。在上面的例子中，它们返回一个(1,1)numpy数组

• 要最小化绝对值，您需要比这更复杂的东西。在当前形式中，传递的是一个不可微的目标函数：解算器不太喜欢这样。假设您希望最小化abs(x)。优化中的一个标准技巧是添加一个额外（slack）变量，比如s，并添加约束s >= x，s >= -x，然后最小化s本身。所有这些约束和目标都是可微的和线性的

• 关于优化变量对目标的划分。只要有可能，你就应该避免这样做。例如（我有90%的把握）如果您不提供初始猜测，像SNOPT或IPOPT这样的解算器会将初始猜测设置为零。这意味着，如果不提供自定义初始猜测，则在第一次计算约束时，解算器将被零除，并将崩溃