投影（使用雅可比矩阵）和边缘化（矩阵求逆、删除行/列并重新转换）是否相互转换？

Question

我试图检查两个Fisher矩阵之间的等式或不等式

我们的目标是看投影（使用雅可比矩阵）和边缘化（矩阵反转、删除行/列并重新转换）是否能相互转换。

这两个矩阵的计算方式略有不同。这两个矩阵是Fisher矩阵

实际上，这是在每个行/列的初始参数和最终矩阵的最终参数之间更改参数的计算。这就是为什么在这两种计算中，我都使用雅可比矩阵J来表示初始参数和最终参数之间的导数：

公式是：F_final = J^T F_initial J

第一个矩阵的大小为5x5，第二个矩阵的大小为4x4。除第4行/列外，它们是相同的

1. 第一：我求5x5矩阵的逆（它给出5x5协方差矩阵）。然后，我“边缘化”，也就是说，我移除这个协方差矩阵的第四行/第四列。然后，我再次求逆，得到一个4x4矩阵

最后，我用雅可比4x4进行投影，公式为：F_final = J^T F_initial J：所以最后得到一个4x4矩阵

1. 对于要构建的第二个矩阵：我直接在5x5第二个矩阵上进行投影（我记得除了第4行/列之外，该矩阵与5x5相同）

我用雅可比矩阵5x5进行投影。然后我得到第二个投影矩阵5x5。最后，我删除这个5x5矩阵上的第4行/列，以获得一个4x4矩阵新的投影矩阵

我想知道在什么条件下，两个矩阵4x4之间可以相等。我不知道我的方法是否正确。

为了向您展示一个实际示例，我在下面放了一个小的Matlab脚本，它试图遵循上面解释的所有推理：

clear;
clc;

% Big_31 Fisher : 
FISH_Big_1_SYM = sym('sp_', [4,4], 'real');
% Force symmetry for Big_31
FISH_Big_1_SYM = tril(FISH_Big_1_SYM.') + triu(FISH_Big_1_SYM,1);

% Big_32 Fisher : 
FISH_Big_2_SYM = sym('sp_', [5,5], 'real');
% Force symmetry for Big_32
FISH_Big_2_SYM = tril(FISH_Big_2_SYM.') + triu(FISH_Big_2_SYM,1);

% Jacobian 1 
J_1_SYM = sym('j_', [4,4], 'real');
% Jacobian 2 
J_2_SYM = sym('j_', [5,5], 'real');

% Remove 4th row/column
J_2_SYM(4,:) = [];
J_2_SYM(:,4) = [];

% Projection
FISH_proj_1 = J_1_SYM'*FISH_Big_1_SYM*J_1_SYM;
size(FISH_proj_1)

% Invert Fisher_2
COV_Big_2_SYM = inv(FISH_Big_2_SYM);

% Remove 4th row/column
COV_Big_2_SYM(4,:) = [];
COV_Big_2_SYM(:,4) = [];

% Re-inverse
FISH_Big_2_SYM_new = inv(COV_Big_2_SYM);

% Projection 2x2
FISH_proj_2 = J_2_SYM'*FISH_Big_2_SYM_new*J_2_SYM;
size(FISH_proj_2)

% Test equality between 2 matrices
isequal(FISH_proj_1,FISH_proj_2)

这个脚本的问题是，即使我有很小的矩阵（4x4或5x5），代码运行时间也有点长，但结果是矩阵不同

更新

我给了一些人的反馈。重要的一点是Matlab代码的这一部分：

当我这样做时：

% Remove 4th row/column
J_2_SYM(4,:) = [];
J_2_SYM(:,4) = [];

我不删除雅可比矩阵j_5_1，j_5_2，j_5_3行的元素J，当我进行投影时，这些项不会消失。另一方面，这些术语将保留在另一种方法中，在我考虑它们的意义上

那么这是一场失败的战斗吗

如果是，哪些修改或假设可能导致相等？i、 e让两个操作都通勤

Answer 1

若要执行np.dot，第一个矩阵的最后一个维度必须与第二个矩阵的第一个维度相同。它们不是，所以您得到的是ValueError，即形状没有对齐。 打印时，一切似乎都很好，但后来您忘记了行：

j_temp = np.copy(J_2_SYM)

# Add row/col into J_2_SYM
j_temp = np.insert(j_temp, 2, J_NEU_row_SYM[0,:], axis=0)
j_temp = np.insert(j_temp, 2, J_NEU_col_SYM[:,0], axis=1)

# Copy built J_2_SYM
J_2_SYM = np.copy(j_temp)

这就是改变J_2_SYM大小的地方，毕竟它是（33，16），所以不能用（32，32）数组做点积