如何使用NewtonRaphson方法在Python中计算多变量方程组？

Question

我需要你帮我编程。这是我的方程组：

f_1(x1, x2) = 89.3885624 + 169.6377442*x1 + 169.439564*x2 
+ 65.07923*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) 
+ 162.698313*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 174.39264*x1*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) 
+ 174.39264*x2*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 72.077218*x1*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 189.511738*x2*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)

及

f_2(x1,x2) = 78.183644 + 26.71298*x1 + 66.782413*x2 
- 169.637744*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) 
- 169.439564*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
- 174.39264*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)^2 
- 261.5889567*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)
*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
- 174.39264*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2)^2 
- 54.306279*x1*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 54.306279*x2*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)

a0、a1和a2是带有变量x1和x2的方程

这两个方程需要等于0或非常接近0。我想用牛顿-拉斐逊法，但我不知道怎么用。在互联网上我找到了很多例子，但它们使用的是和我一样简单的方程组

对不起，我的英语不好，谢谢你的帮助

Answer 1

您可以使用scipy或mpmath，检查这个答案Find roots of a system of equations to an arbitrary decimal precision

如果你想自己解决这个问题，请查看以下链接：http://fourier.eng.hmc.edu/e176/lectures/NM/node21.html

你需要计算函数的偏导数才能计算雅可比矩阵，然后需要求逆。您的函数非常粗糙，因此您可以考虑使用{a3}，它是Mathematica的命令行版本。这样计算导数就容易多了

例如，使用wolframscript（稍作修改，如sqrt（）->；sqrt[]，并在行的末尾使用+来执行多行函数），您可以轻松获得所需的偏导数

In[8]:= f1[x1_, x2_] := 89.3885624 + 169.6377442*x1 + 169.439564*x2 +
65.07923*((3*x1*(-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) +
162.698313*((-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/2*a2) +
174.39264*x1*((3*x1*(-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) +
174.39264*x2*((-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/2*a2) +
72.077218*x1*((-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/2*a2) +
189.511738*x2*((3*x1*(-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)

In[9]:= D[f1[x1, x2], x1]                                                                          
                                           2
Out[9]= 169.638 + 36.0386 a2 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) +

                           2                                        2
     32.5396 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x2   87.1963 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x1 x2
>                        +                     - +
                       a2                                        a2

                                         2
                         3 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x1
>    58.1309 (0.550718 +                 ) x2 +
                                       2 a2

                           2               2
     94.7559 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x2
>                       -
                       a2