使用SymPy/Python进行部分分式分解

Question

我如何找到常数A，B，C，D，K，S

1/(x**6+1) = (A*x+B)/(x**2+1) + (C*x+D)/(x**2-sqrt(3)*x+1) + (K*x+S)/(x**2+sqrt(3)*x+1)

对于每一个实x都是如此

我可能需要一些密码，不确定。或者任何其他可以在这里提供帮助的Python库

我用手试过，但一点也不容易：经过一个小时的计算，我发现我可能犯了一些错误

我在Symphy中尝试了部分分数分解，但没有达到那个程度

我也试过Wolfram Alpha，但它似乎也没有分解到那个细节层次

WA attempt

请参阅WA在下面给出的备选表格

编辑

我完全用手做了第二次尝试，得到了以下结果：

A = 0
B = 1/3
C = -1/(2*sqrt(3))
D = 1/3
K = 1/(2*sqrt(3))
S = 1/3

如何验证这些是否正确

编辑2

我问题的要点是：如何使用一些好的/可重用的Python代码来实现这一点

Answer 1

您可以在Symphy中使用apart来执行此操作，但是apart将在默认情况下查找有理因式分解，因此您必须告诉它在Q(sqrt(3))中工作：

In [37]: apart(1/(x**6+1))                                                                                                                     
Out[37]: 
        2                     
       x  - 2           1     
- ─────────────── + ──────────
    ⎛ 4    2    ⎞     ⎛ 2    ⎞
  3⋅⎝x  - x  + 1⎠   3⋅⎝x  + 1⎠

In [36]: apart(1/(x**6+1), extension=sqrt(3))                                                                                                  
Out[36]: 
       √3⋅x - 2            √3⋅x + 2           1     
- ───────────────── + ───────────────── + ──────────
    ⎛ 2           ⎞     ⎛ 2           ⎞     ⎛ 2    ⎞
  6⋅⎝x  - √3⋅x + 1⎠   6⋅⎝x  + √3⋅x + 1⎠   3⋅⎝x  + 1⎠