通过递归的Pascal三角形

Question

有人能告诉我我现在的代码是否可行吗？我必须在不使用任何循环的情况下使用输入创建Pascal三角形。我注定要递归

我花了3天的时间在这上面，这是我能想到的最好的输出

def pascal(curlvl,newlvl,tri):

  if curlvl == newlvl:
    return ""

  else:

    tri.append(tri[curlvl])

    print(tri)
    return pascal(curlvl+1,newlvl,tri)


def triLvl():
  msg = "Please enter the number of levels to generate:"

  triheight = int(input(msg))

  if triheight < 1:
    print("\n Sorry, the number MUST be positive\n Please try again.")
    return triLvl()

  else:
    return triheight



def main():

   triangle = [1]

   curlvl = 0

   print("Welcome to the Pascal's triangle generator.")

   usrTri = triLvl()
   print(triangle)
   pascal(curlvl,usrTri,triangle)



main()

Answer 1

我们可以使用辅助函数pairs定义递归pascal

pascal将返回[[Int]]（Int数组的数组）–例如，pascal(3)将返回

[ [1],
  [1, 1],
  [1, 2, 1] ]

好的，我会先给你看所有的代码，然后我会一步一步地解释一些细节

def pairs (xs):
  if 2 > len(xs):
    return []
  else:
    return [xs[0:2]] + pairs(xs[1:])

def pascal (n):
  def compute (prev):
    return [1] + [x + y for (x,y) in pairs(prev)] + [1]
  def aux (m, prev):
    if (m > n):
      return []
    else:
      return [prev] + aux(m + 1, compute(prev))
  return aux(1, [1])

[print(line) for line in pascal(5)]
# [1]
# [1, 1]
# [1, 2, 1]
# [1, 3, 3, 1]
# [1, 4, 6, 4, 1]

---

解释

我们真正关心的是pascal函数——我们所写的所有其他东西都是从我们写pascal的方式中产生的，所以我将首先介绍一下

编写递归函数的一种非常常见的方法是使用一个内部辅助函数来跟踪计算的各种状态。我们将使用此技术作为pascal函数的基础

def my_recursive_func (<parameters>):
  def aux (<state_parameters>):
    if (<base_condition>):
      return <base_value>
    else
      return aux(<updated_state>)
  return aux(<initial_state>)

我们已经知道如何为我们的pascal函数填写一些样板文件

• parameters应该是n，一个整数，因为我们希望调用像pascal(3)或pascal(5)之类的函数——不应接受其他参数
• state_parameters–我们现在只知道两件事：1）我们需要一些值m，它的计数为n，每次递增1，2）一些值允许我们计算下一行；我们将其称为prev，因为每个pascal行都是基于前面的行计算的
• base_condition–当m == n我们知道我们已经生成了所有需要的行时，这就是我们想要停止递归的时候
• base_value–这是最后一个返回的值–不太确定应该是什么
• updated_state–我们将使用m + 1更新m，并且我们将使用某种数组连接来更新行–在编写更多代码之前并不完全确定
• initial_state–我们将从{}开始{}，pascal的第一行是{}

好的，让我们填一下到目前为止的内容

def pascal (n):
  def aux (m, prev):
    if (m > n):
      return ?
    else:
      return aux(m + 1, ?)
  return aux(1, [1])

我们想做的是让pascal构建我们的结果，类似这样

[[1]] + [[1, 1]] + [[1, 2, 1]] + [[1, 3, 3, 1]], ...]
# => [ [1], [1 ,1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1], ... ]

<>所以，为了写^ {CD21>}和更新状态为{{CD18>}，我们需要考虑这个返回类型。我们想要返回[[Int]]，这是一个列表，因此base_value可以是空列表[]

这意味着，在每一步中，我们实际上都希望采用[prev]并将它连接到递归结果中（+）

[prev] + aux(m + 1, <next_row>)

我们现在非常接近了，让我们再次更新pascal，看看我们必须完成什么

def pascal (n):
  def aux (m, prev):
    if (m > n):
      return []
    else:
      return [prev] + aux(m + 1, <next_row>)
  return aux(1, [1])

好了，这是最难的pard–计算下一行，对吗？其实还不算太糟

# given
[1,2,1]

# the next row is
[1, (1 + 2), (2 + 1), 1]

或者另一个例子

# given
[1, 4, 6, 4, 1]

# the next row is
[1, (1 + 4), (4 + 6), (6 + 4), (4 + 1), 1]

因此，模式是这样的：创建一个新数组，从1开始，然后对前一行中的每一对数字，将两个数字相加，并将每个和追加到数组中，最后追加另一个1。我们可以用python来表达这一点，就像使用这样的列表理解一样

[1] + [x + y for (x,y) in pairs(prev)] + [1]

现在我们只需要找出pairs函数pairs应具有以下合同

pairs([])        => []
pairs([a])       => []
pairs([a,b])     => [[a,b]]
pairs([a,b,c])   => [[a,b],[b,c]]
pairs([a,b,c,d]) => [[a,b],[b,c],[c,d]]

让我们现在实施它，并验证我们的实施是否符合合同要求。注意，我在pascal的之外实现这个函数，因为它是一个通用函数，并且本身很有用。要计算pascal行，我们需要添加数对，但是添加或如何获得这些对或数不应作为pascal函数本身的责任

def pairs (xs):
  if 2 > len(xs):
    return []
  else:
    return [xs[0:2]] + pairs(xs[1:])

print(pairs([]))        # []
print(pairs([1]))       # []
print(pairs([1,2]))     # [[1,2]]
print(pairs([1,2,3]))   # [[1,2],[2,3]]
print(pairs([1,2,3,4])) # [[1,2],[2,3],[3,4]]

好了，我们现在真的很接近了。让我们再次更新pascal函数，看看我们现在的位置

def pascal (n):
  def aux (m, prev):
    if (m > n):
      return []
    else:
      return [prev] + aux(m + 1, [1] + [x + y for (x,y) in pairs(prev)] + [1])
  return aux(1, [1])

天哪！我们已经做完了。带有下一行内联计算的aux调用看起来有点忙。让我们在pascal中添加另一个名为compute的助手来清理问题。现在我们完成了

def pascal (n):
  def compute (prev):
    return [1] + [x + y for (x,y) in pairs(prev)] + [1]
  def aux (m, prev):
    if (m > n):
      return []
    else:
      return [prev] + aux(m + 1, compute(prev))
  return aux(1, [1])

---

彻底

如果你想让那些愚蠢的文本和提示显示出来，你可以写main一些东西如下所示，这使所有I/O与pascal和pairs函数保持分离。这种关注的分离和副作用的管理在程序的早期是很重要的，因为重复使用比我们希望的更多的功能是困难的。p>

def main ():
  try:
    print("Pascal triangle generator")
    n = int(input("Pascal(x): x = "))
    if n < 1: raise
    [print(line) for line in pascal(n)]
  except:
    print("enter a non-zero positive integer")
    main()

# run program
main()

继续运行pascal(300)或其他程序，获得一些令人印象深刻的结果

Answer 2

递归Pascal三角形作为列表：

P=lambda h:(lambda x:x+[[x+y for x,y in zip(x[-1]+[0],[0]+x[-1])]])(P(h-1))if h>1 else[[1]]
print(P(10))

我希望它能有所帮助，我不知道“zip”和“map”是否被视为循环（它们肯定包含循环）

Answer 3

我不知道这是否是您想要的，但它工作得很好：

from operator import add


def pascal(curlvl, newlvl, tri):
    if curlvl == newlvl:
        return ""
    elif curlvl == 0:
        tri.append(1)
        print (tri)
        return pascal(curlvl + 1, newlvl, tri)
    else:
        tmp = [1]
        rt = tri[:-1]
        rt.reverse()
        # print (map(add, rt, tri[:-1]))
        # In Python 3, map returns a generator.
        # Wrapping map in list makes this code compatible with
        # both Python 2 and 3
        tt = list(map(add, rt, tri[:-1]))
        if (len(tt) > 0):
            tmp.extend(tt)
        tmp.append(1)
        tri = tmp
        print (tri)
        return pascal(curlvl + 1, newlvl, tri)


def triLvl():
    msg = "Please enter the number of levels to generate:"

    triheight = int(input(msg))

    if triheight < 1:
        print("\n Sorry, the number MUST be positive\n Please try again.")
        return triLvl()

    else:
        return triheight


def main():
    triangle = [1]

    curlvl = 0

    print("Welcome to the Pascal's triangle generator.")

    usrTri = triLvl()
    print(triangle)
    pascal(curlvl, usrTri, triangle)


main()