给定一个Nside平方矩阵，有没有不使用循环或if条件的方法来求单元的环值？

Question

例如，假设你有一个6边的正方形矩阵。 这些是笛卡尔指数：

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5)
(1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

6边正方形有3个环：A

A A A A A A
A B B B B A
A B C C B A
A B C C B A
A B B B B A
A A A A A A

问题什么函数可以获取单元格的坐标，即正方形的N边，并相应地返回环值？例如：

f(x = 1, y  2, N = 6) = B

A，B，C。。。可以是任何数值：1、2、3。。。或0，1，2。。。或者别的什么。重要的是它们对任何N都是一致的。例如：

N = 1   =>   A = 1
N = 2   =>   A = 1
N = 3   =>   A = 1, B = 2
N = 4   =>   A = 1, B = 2
N = 5   =>   A = 1, B = 2, C = 3
N = 6   =>   A = 1, B = 2, C = 3
N = 7   =>   A = 1, B = 2, C = 4, D = 4
...

使用if条件问题很容易解决。 给定一对（x，y）和正方形边N：

# N//2 is the number of rings in a N-side square
for k in range(1,N//2+1):
    if x == 0+k-1 or y== 0+k-1 or x == N-k or y == N-1:
        return k

不过，这似乎是一种非常昂贵的方法来寻找细胞的环值。 我试着用对角线，坐标和，坐标差来求函数。。。但我还是什么也没找到。 有人遇到过这个问题吗？ 有办法解决吗

Answer 1

看起来像是要解决的数学问题。 编辑：更新了功能，应该可以更好的处理奇偶点后的中点情况。然而，OP的要求是把它变成一个数学方程，我不知道怎么做

import math


def ring_finder(x, y, N, outer_ring = 0):
    '''
    x and y are the coordinates of a cell, N is the length of the side of square
    Returns the correct ring count starting from outer_ring value (default, 0)
    '''
    if x >= N or y >= N:
        print("coordinates outside square, please check")
        return None
    no_of_squares = math.ceil(N/2)
    x = N - x - 1 if x >= no_of_squares else x
    y = N - y - 1 if y >= no_of_squares else y
    return min(x, y) + outer_ring

环形探测器（5、5、6）

ring_finder(1, 2, 6)

Answer 2

我认为这个函数满足您的要求：

def ring_id(n, i, j):
    even = n % 2 == 0
    n_2 = n // 2
    i = i - n_2
    if even and i >= 0:
        i += 1
    i = abs(i)
    j = j - n_2
    if even and j >= 0:
        j += 1
    j = abs(j)
    ring_id = i + max(j - i, 0)
    return n_2 - ring_id

字母小测验：

import string

def print_rings(n):
    ring_names = string.ascii_uppercase
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            rid = ring_id(n, i, j)
            print(ring_names[rid], end=' ')
        print()

print_rings(6)
# A A A A A A
# A B B B B A
# A B C C B A
# A B C C B A
# A B B B B A
# A A A A A A
print_rings(7)
# A A A A A A A
# A B B B B B A
# A B C C C B A
# A B C D C B A
# A B C C C B A
# A B B B B B A
# A A A A A A A

编辑：如果您坚持不在函数中使用if这个词，您可以（有些尴尬地）将上述函数重写为：

def ring_id(n, i, j):
    even = 1 - n % 2
    n_2 = n // 2
    i = i - n_2
    i += even * (i >= 0)
    i = abs(i)
    j = j - n_2
    j += even * (j >= 0)
    j = abs(j)
    ring_id = i + max(j - i, 0)
    return n_2 - ring_id

或者，如果你想让它看起来更像“公式”（尽管不可读，而且需要更多的重复计算）：

def ring_id(n, i, j):
    i2 = abs(i - (n // 2) + (1 - n % 2) * (i >= (n // 2)))
    j2 = abs(j - (n // 2) + (1 - n % 2) * (j >= (n // 2)))
    return (n // 2) - i2 + max(j2 - i2, 0)

虽然这或多或少不是“数学”的，但基本上是相同的逻辑

Answer 3

在“无穷范数”意义上，环值是到数组中心距离的补码

N/2 - max(|X - (N-1)/2|, |Y - (N-1)/2|).

这为A赋值0，为B赋值1，依此类推

为了避免半整数，可以使用

(N - min(|2X - N + 1|, |2Y - N + 1|) / 2.

max和abs函数可能涉及隐藏的ifs，但您无法避免

---

def Ring(X, Y, N):
    return (N - max(abs(2 * X - N + 1), abs(2 * Y - N + 1))) // 2

for N in range(1, 8):
    for X in range(N):
        for Y in range(N):
            print(chr(Ring(X, Y, N) + 65), '', end= '')
        print()
    print()

---

A 

A A 
A A 

A A A 
A B A 
A A A 

A A A A 
A B B A 
A B B A 
A A A A 

A A A A A 
A B B B A 
A B C B A 
A B B B A 
A A A A A 

A A A A A A 
A B B B B A 
A B C C B A 
A B C C B A 
A B B B B A 
A A A A A A 

A A A A A A A 
A B B B B B A 
A B C C C B A 
A B C D C B A 
A B C C C B A 
A B B B B B A 
A A A A A A A