如何求具有同伦矩阵的特征值和特征向量？

Question

我想用这个：a计算系统的特征向量

问题是我不知道如何用同伦解特征值。 这是我的密码。我想从矩阵A中得到x1和x2的一些值

from sympy import *
x1, x2, Lambda = symbols('x1 x2 Lambda')
I = eye(2)
A = Matrix([[0, 2], [1, -3]])
equation = Eq(det(Lambda*I-A), 0)
D = solve(equation)
print([N(element, 4) for element in D]) # Eigenvalus in decimal form
print(pretty(D)) # Eigenvalues in exact form

X = Matrix([[x1], [x2]]) # Eigenvectors
T = A*X - D[0]*X # The Ax = %Lambda X with the first %Lambda = D[0]
print(pretty(solve(T, x1, x2)))

Answer 1

symphy有一个非常方便的方法来获得特征值和特征向量：sympy-doc

你的例子只会变成：

from sympy import *
A = Matrix([[0, 2], [1, -3]])
print(A.eigenvals())  #returns eigenvalues and their algebraic multiplicity
print(A.eigenvects())  #returns eigenvalues, eigenvects

Answer 2

方法^{}和^{}是这里通常使用的方法。

A.eigenvals()返回{-sqrt(17)/2 - 3/2: 1, -3/2 + sqrt(17)/2: 1}，这是一个特征值及其多重性的字典。如果不关心多重性，可以使用list(A.eigenvals().keys())获得特征值的简单列表。

eigenvects的输出有点复杂，由三个（特征值，这个特征值的多重性，特征空间的基）组成。注意，多重性是algebraic multiplicity，而返回的特征向量数是geometric multiplicity，可能更小。由于某种原因，特征向量返回为单列矩阵。。。

对于矩阵，A.eigenvects()返回特征值-3/2 + sqrt(17)/2的特征向量[-2/(-sqrt(17)/2 + 3/2), 1]，返回特征值-sqrt(17)/2 - 3/2的特征向量[-2/(3/2 + sqrt(17)/2), 1]。

如果要将特征向量显示为简单的坐标列表，请执行以下操作

[list(tup[2][0]) for tup in A.eigenvects()]

将输出[[-2/(-sqrt(17)/2 + 3/2), 1], [-2/(3/2 + sqrt(17)/2), 1]]。（注意，这只是为每个特征值选择一个特征向量，这并不总是您想要的）