利用eig实现SVD

Question

我正在尝试使用np.linalg.eig方法实现SVD，用于图像压缩分配。我们不允许直接使用np.linalg.svd方法。你知道吗

以下是我的svd方法：

def svd(A):
    evals, U = LA.eig(A @ A.T)
    evals2, V = LA.eig(A.T @ A)
    idx = evals.argsort()[::-1]
    evals = evals[idx]
    U = U[:, idx]
    idx = evals2.argsort()[::-1]
    V = V[ :, idx]
    sigma = np.array(list(map(math.sqrt, evals)))
    return U, sigma, V.T

但是当我尝试用上述svd返回的U和V重建图像时，错误率非常高，即使使用了所有的奇异向量，图像仍然是完全模糊的。然而，当我对np.linalg.svd返回的U&V矩阵尝试相同的重建过程时，我能够清晰地重建图像。你知道吗

如果我的svd方法有什么问题，请告诉我。你知道吗

Answer 1

奇异值分解和特征向量都不是完全唯一的。在奇异值分解中，只要对V中相应的向量做同样的操作，就可以对U中的任何向量进行符号翻转。得到的特征向量不是以这种方式耦合的，因此很有可能出现符号不匹配。你可以通过使用U。T@A@V.T.公司是sigma，所以检查U的对角线元素的符号。T@A@V.T.公司对于每一个负数，翻转U或V中相应的向量（但不是同时翻转）。你知道吗

其他建议：

因为你只需要对角线元素，所以计算全积U是浪费的。T@A@V.T；只计算对角线元素的最简单方法是np.einsum('ij,ik,jk->j',U,A,V)。你知道吗

使用eigh而不是eig，因为你知道A@A.T.公司和A。T@A公司是对称的。你知道吗

你可以保存一个特征分解，因为西格玛@V=U。T@A公司sigma是对角线很容易颠倒。这还有一个好处，就是上面的符号问题不会发生。你知道吗